在平面直角坐標系xOy中，給定線段MN和圖形F，給出如下定義：
平移線段MN至M'N'，使得線段M'N'上的所有點均在圖形F上或其內部，則稱該變換為線段MN到圖形F的平移重合變換，線段MM'的長度稱為該次平移重合變換的平移距離，其中，所有平移重合變換的平移距離中的最大值稱為線段MN到圖形F的最大平移距離，最小值稱為線段MN到圖形F的最小平移距離．
如圖1，點A（1，0），P（-1，
3
），Q（5，
3
）
（1）①在圖1中作出線段OA到線段PQ的平移重合變換（任作一條平移后的線段O'A'）；
②線段OA到線段PQ的最小平移距離是
3
3
，最大平移距離是
19
19
．
（2）如圖2，作等邊△PQR（點R在線段PQ的上方），
①求線段OA到等邊△PQR最大平移距離．
②點B是坐標平面內一點，線段OB的長度為1，線段OB到等邊△PQR的最小平移距離的最大值為
3
+1
3
+1
，最大平移距離的最小值為
160
-
28
3
3
160
-
28
3
3
．

【答案】

；

+1；

160

【解答】

【點評】

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發布：2024/10/18 19:0:2組卷：139引用：2難度：0.3

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1．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，∠MCN=45°，射線CM交直線AB于點P，過點A作AD⊥CM于點D，直線AD交直線CN于點E，連接BE．
（1）當點P在線段AB上時，如圖①，求證：AD+BE=DE；
（2）當點P在BA的延長線上時，如圖②；當點P在AB的延長線上時，如圖③，線段AD，DE，BE之間又有怎樣的數量關系？直接寫出你的猜想，不必證明．
發布：2025/5/25 19:30:2組卷：79引用：1難度：0.3
解析
2．已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，點F是線段BC上一點，D、E是射線AF上兩點，且∠ADB=∠BAC，∠AEC=60°．
（1）如圖1，
①填空：∠BAE
∠ACE；（填“＞”或“=”或“＜”）
②判定三條線段AD，BD，CE的數量關系，并說明理由；
（2）若∠DBC=15°，則直接寫出
FC
BF
的值．
發布：2025/5/25 17:30:1組卷：278引用：3難度：0.1
解析
3．如圖①，在△ABC中，∠ABC=90°，過點B作直線BD交邊AC于點D，過點A作AE⊥BD，垂足為點E，過點C作CF⊥BD，垂足為點F，點O為AC的中點，連結OE、OF．
【證明推斷】求證：OE=OF．
小明給出的思路：先分別延長EO、CF交于點M，再證明△AEO≌△CMO．請你根據小明的思路完成證明過程．
【拓展應用】如圖②，當BC=4AB，∠DBC=45°時，解決下列問題：
（1）∠EFO的大小為
度．
（2）
OD
OC
的值為
．
發布：2025/5/25 18:0:1組卷：179引用：2難度：0.4
解析

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