【探索發現】
“旋轉”是一種重要的圖形變換，圖形旋轉過程中蘊含著眾多數學規律，以圖形旋轉為依托構建的解題方法是解決幾何問題的常用方法．如圖1，在正方形ABCD中，點E在AD上，點F在CD上，∠EBF=45°．
某同學進行如下探索：
第一步：將△ABE繞點B順時針旋轉90°，得到△CBG，且F、C、G三點共線；
第二步：證明△BEF≌△BGF；
第三步：得到∠AEB和∠FEB的大小關系，以及AE、CF、EF之間的數量關系；
請完成第二步的證明，并寫出第三步的結論．
【問題解決】
如圖2，在正方形ABCD中，點P在AD上，且不與A、D重合，將△ABP繞點B順時針旋轉，旋轉角度小于90°，得到△A'BP'，當P、A′、P′三點共線時，這三點所在直線與CD交于點Q，要求使用無刻度的直尺與圓規找到Q點位置，某同學做法如下：連接AC，與BP交于點O，以O為圓心，OB為半徑畫圓弧，與CD相交于一點，該點即為所求的點Q．
請證明該同學的做法．（前面【探索發現】中的結論可直接使用，無需再次證明）
【拓展運用】
如圖3，在邊長為2的正方形ABCD中，點P在AD上，BP與AC交于點O，過點O作BP的垂線，交AB于點M，交CD于點N，設AP+AB=x（2≤x≤4），AM=y,直接寫出y關于x的函數表達式．
?
【考點】四邊形綜合題．
【答案】【探索發現】見解答；
【問題解決】見解答；
【拓展運用】y=6-x-．
【問題解決】見解答；
【拓展運用】y=6-x-
8
x
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/12 8:0:8組卷：849引用：1難度：0.5
相似題
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1．如圖，點E，F分別在正方形ABCD的邊CD，BC上，且DE=CF，點P在射線BC上（點P不與點F重合）．將線段EP繞點E順時針旋轉90°得到線段EG，過點E作GD的垂線QH，垂足為點H，交射線BC于點Q．
（1）如圖1，若點E是CD的中點，點P在線段BF上，
①PQ=；
②線段BP，QC，EC的數量關系為 ．
（2）如圖2，若點E不是CD的中點，點P在線段BF上，判斷（1）中的結論是否仍然成立，若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．
（3）正方形ABCD的邊長為9，DE=DC，QC=2，請直接寫出線段BP的長．13
發布：2025/5/25 3:30:2組卷：544引用：4難度：0.4 -
2．如圖，四邊形ABCD是正方形，E是射線DC上一點，F是CE的中點，將線段EF繞點F逆時針旋轉90°得到點GF，連接GE，CG，以CG，CD為鄰邊作平行四邊形CGHD，連接AE，M是AE的中點．
（1）如圖1，當點E與點D重合時，HM與AE的位置關系是 ．
（2）如圖2，當點E與點D不重合，（1）中的結論是否成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；
（3）當DE=2CE時，連接HE，請直接寫出tan∠GHE的值．
發布：2025/5/25 4:0:1組卷：109引用：1難度：0.1 -
3．在數學興趣小組活動中，小亮進行數學探究活動．
（1）△ABC是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一點，且AE=1，小亮以BE為邊作等邊三角形BEF，如圖1．求CF的長；
（2）△ABC是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一個動點，小亮以BE為邊作等邊三角形BEF，如圖2．在點E從點C到點A的運動過程中，求點F所經過的路徑長；
（3）△ABC是邊長為3的等邊三角形，M是高CD上的一個動點，小亮以BM為邊作等邊三角形BMN，如圖3．在點M從點C到點D的運動過程中，求點N所經過的路徑長；
（4）正方形ABCD的邊長為3，E是邊CB上的一個動點，在點E從點C到點B的運動過程中，小亮以B為頂點作正方形BFGH，其中點F、G都在直線AE上，如圖4．當點E到達點B時，點F、G、H與點B重合．則點H所經過的路徑長為，點G所經過的路徑長為．發布：2025/5/25 2:30:1組卷：3595引用：2難度：0.2