已知動圓P過點F（0，18）且與直線y=-18相切，圓心P的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）若A，B是曲線C上的兩個點且直線AB過△OAB的外心，其中O為坐標原點，求證：直線AB過定點．
F
（
0
，
1
8
）
1
8
【考點】拋物線的焦點與準線．
【答案】（1）x2=y．
（2）證明：由題意可知直線AB的斜率一定存在，否則不與曲線C有兩個交點．
設AB方程為y=kx+m，設點A（x1，y1），B（x2，y2），聯立方程
，
得2x2-kx-m=0，
則得x1+x2=，x1x2=-，
由x2=y得：，y2=2．Δ=k2+8m＞0．
y1y2=?2=4=4×=m2．
Δ=k2+8m
直線AB過△AOB的外心，其中O為坐標原點，∴OA⊥OB．
∴=x1x2+y1y2=0，
∴+m2=0．m≠0
解得m=．
∴直線AB過定點（0，）．
1
2
（2）證明：由題意可知直線AB的斜率一定存在，否則不與曲線C有兩個交點．
設AB方程為y=kx+m，設點A（x1，y1），B（x2，y2），聯立方程
y = kx + m |
y = 2 x 2 |
得2x2-kx-m=0，
則得x1+x2=
k
2
m
2
由x2=
1
2
y
1
=
2
x
2
1
x
2
2
y1y2=
2
x
2
1
x
2
2
（
x
1
x
2
）
2
（
x
1
x
2
）
2
Δ=k2+8m
直線AB過△AOB的外心，其中O為坐標原點，∴OA⊥OB．
∴
OA
?
OB
∴
-
m
2
解得m=
1
2
∴直線AB過定點（0，
1
2
【解答】
【點評】
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發布：2024/8/28 6:0:10組卷：456引用：6難度：0.3