已知函數f（x）=（lnx-
1
2
）x²-6a（lnx-1）x,a為常數，a∈R．
（Ⅰ）當a=
1
3
時，求f（x）在x=e處的切線方程；
（Ⅱ）（ⅰ）討論函數f（x）的單調性；
（ⅱ）?x∈（e,+∞），不等式f（x）＞2a²恒成立，求a的取值范圍．

【答案】（Ⅰ）y=2（e-1）x+2e-

．
（Ⅱ）（i）a≤0時f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增；0＜a

≤

時f（x）在（0，3a）上單調遞增，在（3a，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增；a=

時f（x）在（0，+∞）上單調遞增；a＞

時f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，3a）上單調遞減，在（3a，+∞）上單調遞增．
（ii）[-

，

）．

【解答】

【點評】

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發布：2024/9/1 3:0:8組卷：140引用：3難度：0.5

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1．已知函數
f
（
x
）
=
ln
2
+
x
2
-
x
+
1
，若關于x的不等式
f
（
k
e
x
）
+
f
（
-
1
2
x
）
＞
2
對任意x∈（0，2）恒成立，則實數k的取值范圍（　　）
A．（
1
2
e
，+∞） B．（
1
2
e
，
2
e
2
） C．（
1
2
e
，
2
e
2
] D．（
2
e
2
，1]
發布：2025/1/5 18:30:5組卷：297引用：2難度：0.4
解析
2．已知函數f（x）=
e
x
-
a
x
2
1
+
x
．
（1）若a=0，討論f（x）的單調性．
（2）若f（x）有三個極值點x₁，x₂，x₃．
①求a的取值范圍；
②求證：x₁+x₂+x₃＞-2．
發布：2024/12/29 13:0:1組卷：191引用：2難度：0.1
解析
3．已知函數f（x）=ax³+x²+bx（a,b∈R）的圖象在x=-1處的切線斜率為-1，且x=-2時，y=f（x）有極值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-3，2]上的最大值和最小值．
發布：2024/12/29 12:30:1組卷：48引用：4難度：0.5
解析

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