已知拋物線x2=4y的焦點為F，A、B是拋物線上的兩動點，且AF=λFB（λ＞0）．過A、B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為M．
（Ⅰ）證明FM?AB為定值；
（Ⅱ）設△ABM的面積為S，寫出S=f（λ）的表達式，并求S的最小值．
AF
=
λ
FB
（
λ
＞
0
）
FM
?
AB
【考點】拋物線的焦點與準線．
【答案】（Ⅰ）：（1）設A（x1，y1），B（x2，y2），M（xo，yo），焦點F（0，1），準線方程為y=-1，
顯然AB斜率存在且過F（0，1）
設其直線方程為y=kx+1，聯立4y=x2消去y得：x2-4kx-4=0，
判別式Δ=16（k2+1）＞0．
x1+x2=4k，x1x2=-4
于是曲線4y=x2上任意一點斜率為y′=，則易得切線AM，BM方程分別為y=（）x1（x-x1）+y1，y=（）x2（x-x2）+y2，其中4y1=，4y2=，聯立方程易解得交點M坐標，xo==2k，yo==-1，即M（，-1）
從而，=（，-2），（x2-x1，y2-y1）
?=（x1+x2）（x2-x1）-2（y2-y1）=（-）-2[（-）]=0，（定值）命題得證．
這就說明AB⊥FM．
（Ⅱ）S取得最小值4．
顯然AB斜率存在且過F（0，1）
設其直線方程為y=kx+1，聯立4y=x2消去y得：x2-4kx-4=0，
判別式Δ=16（k2+1）＞0．
x1+x2=4k，x1x2=-4
于是曲線4y=x2上任意一點斜率為y′=
x
2
1
2
1
2
x
2
1
x
2
2
x
1
+
x
2
2
x
1
x
2
4
x
1
+
x
2
2
從而，
FM
x
1
+
x
2
2
AB
FM
AB
1
2
1
2
x
2
2
x
2
1
1
4
x
2
2
x
2
1
這就說明AB⊥FM．
（Ⅱ）S取得最小值4．
【解答】
【點評】
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發布：2024/4/20 14:35:0組卷：3726引用：22難度：0.5