對于一個非空集合A,如果集合D滿足如下四個條件:
①D?{(a,b)|a∈A,b∈A};
②?a∈A,(a,a)∈D;
③?a,b∈A,若(a,b)∈D且(b,a)∈D,則a=b;
④?a,b,c∈A,若(a,b)∈D且(b,c)∈D,則(a,c)∈D,
則稱集合D為A的一個偏序關系.
(Ⅰ)設A={1,2,3},判斷集合D={(1,1),(1,2)(2,2),(2,3),(3,3)}是不是集合A的偏序關系,請你寫出一個含有4個元素且是集合A的偏序關系的集合D;
(Ⅱ)證明:R≤={(a,b)|a∈R,b∈R,a≤b}是實數集R的一個偏序關系:
(Ⅲ)設E為集合A的一個偏序關系,a,b∈A.若存在c∈A,使得(c,a)∈E,(c,b)∈E,且?d∈A,若(d,a)∈E,(d,b)∈E,一定有(d,c)∈E,則稱c是a和b的交,記為c=a∧b.證明:對A中的兩個給定元素a,b,若a∧b存在,則一定唯一.
【考點】元素與集合關系的判斷;進行簡單的合情推理.
【答案】(Ⅰ)D={(1,1),(1,2),(2,2),(3,3)}(開放性).
(Ⅱ)證明過程見解答.
(Ⅲ)證明過程見解答.
(Ⅱ)證明過程見解答.
(Ⅲ)證明過程見解答.
【解答】
【點評】
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