已知雙曲線C過點（4，3），且漸近線方程為y=±12x，直線l與曲線C交于點M、N兩點．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線l過原點，點P是曲線C上任一點，直線PM，PN的斜率都存在，記為kPM、kPN，試探究kPM?kPN的值是否與點P及直線l有關，并證明你的結論；
（3）若直線l過點（1，0），問在x軸上是否存在定點Q，使得QM?QN為常數？若存在，求出點Q坐標及此常數的值；若不存在，說明理由．
（
4
，
3
）
y
=±
1
2
x
QM
?
QN
【答案】（1）-y2=1；
（2）kPM?kPN的值與點P及直線l無關，證明如下：
設點M的坐標為（m，n），則點N的坐標為（-m，-n），
其中-y2=1、又設點P的坐標為（x，y），
由kPM=，kPN=，
得kPM?kPN=?=，
將y2=-1，n2=-1，代入得kPM?kPN==．
故kPM?kPN的值與點P及直線l無關；
（3）存在，定點Q（，0），=．
x
2
4
（2）kPM?kPN的值與點P及直線l無關，證明如下：
設點M的坐標為（m，n），則點N的坐標為（-m，-n），
其中
x
2
4
由kPM=
y
-
n
x
-
m
y
+
n
x
+
m
得kPM?kPN=
y
-
n
x
-
m
y
+
n
x
+
m
y
2
-
n
2
x
2
-
m
2
將y2=
x
2
4
m
2
4
x
2
4
-
1
-
m
2
4
+
1
x
2
-
m
2
1
4
故kPM?kPN的值與點P及直線l無關；
（3）存在，定點Q（
23
8
QM
?
QN
273
64
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：166引用：1難度：0.3
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（1）求雙曲線C的方程；
（2）若S1S2=432，試問是否存在實數λ，使得-k1，λk,k2．成等比數列，若存在，求出λ的值，不存在說明理由．發布：2024/7/31 8:0:9組卷：66引用：3難度：0.5 -
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