綜合與實踐
問題情境：活動課上，同學們以三角形為背景探究圖形變化中的數學問題．如圖1，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°．將△ABC從圖1的位置開始繞點C順時針旋轉得到△A'B'C（點A，B的對應點分別為點A′，B'），旋轉角為α（0°＜α＜180°）．
操作思考：（1）如圖2，“明辨”小組畫出了A'B'恰好經過點B時的圖形．求此時旋轉角α的度數；
（2）如圖3，“善思”小組畫出了點A'落在CB延長線上時的圖形，此時點B'也恰好在AC的延長線上．過點B作AC的平行線交AA′于點P，連接BB'．猜想線段AP與BB'的數量關系，并說明理由；
拓展探究：（3）如圖4，“博學”小組在圖2的基礎上，將△BCB′沿射線A'C的方向平移，點B，C，B′的對應點分別為D，E，F．若AB=4，當以A，B'，D為頂點的三角形是等腰三角形時，請直接寫出平移的距離．
?
【考點】幾何變換綜合題．
【答案】（1）α=60°；
（2）猜想AP=BB'，理由見解析過程；
（3）當以A，B'，D為頂點的三角形是等腰三角形時，平移的距離為或．
（2）猜想AP=BB'，理由見解析過程；
（3）當以A，B'，D為頂點的三角形是等腰三角形時，平移的距離為
4
3
2
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【解答】
【點評】
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發布：2024/6/22 8:0:10組卷：624引用：3難度：0.1
相似題
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1．閱讀下面的材料，并解決問題：
（1）如圖1，等邊△ABC內有一點P，若點P到頂點A、B、C的距離分別是3、4、5，求∠APB的度數．由于PA、PB、PC不在一個三角形中，為了解決本題我們可以將△ABP繞頂點A旋轉到△ACP′處，此時△ACP≌．這樣，就可以利用全等三角形知識，將三條線段的長度轉化到一個三角形中從而求出∠APB的度數；（求∠APB的度數）
（2）請你利用第（1）題解答的思想方法，解答下面的問題：如圖2，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F為BC上的點且∠EAF=45°，求證：EF2=BE2+FC2．發布：2025/6/9 5:30:2組卷：189引用：2難度：0.2 -
2．（1）如圖1，在平面直角坐標系中，將直角三角形的直角頂點放在點P（2，2）處，若A（0，2），則B的坐標為 ；
（2）將直角三角形繞點P逆時針旋轉，如圖2，兩直角邊與坐標軸分別交于點AB，求OA+OB的值；
（3）將直角三角形繞點P逆時針旋轉，如圖3，兩直角邊所在的直線與坐標軸交于A，B兩點，探究OB與OA的數量關系．
發布：2025/6/9 5:0:1組卷：40引用：1難度：0.2 -
3．如圖1，在△ABC中，AE⊥BC于點E，AE=BE，D是AE上的一點，且DE=CE，連接BD，CD．
（1）試判斷BD與AC的位置關系是：；數量關系是：；
（2）如圖2，若將△DCE繞點E旋轉一定的角度后，試判斷BD與AC的位置關系和數量關系是否發生變化，并說明理由；
（3）如圖3，若將（2）中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變．
①試猜想BD與AC的數量關系為：；
②你能求出BD與AC的夾角度數嗎？如果能，請直接寫出夾角度數；如果不能，請說明理由．
發布：2025/6/9 6:30:1組卷：724引用：2難度：0.3