綜合與實踐
問題情境：
在矩形ABCD中，E是BC邊上的一點，過點E作對角線BD的垂線，垂足為點F，點G是DE的中點，連接CG，FG．
小試牛刀：
（1）如圖1，若ABBC=33，直接寫出線段FG與CG的數量關系以及∠CGF的度數．
變式探究：
（2）如圖2，在（1）的條件下，將圖1中的△BEF繞點B逆時針旋轉，使點F落在CB邊的延長線上，其余條件不變，請探究（1）中的結論是否仍然成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由．
拓展延伸：
（3）將△BEF繞點B逆時針旋轉（旋轉角小于360°），請探究下列問題：
①若將“矩形ABCD”變為“正方形ABCD”，其余條件不變，請在圖3中畫出旋轉到某一位置的圖形，并直接寫出線段FG與CG的數量關系以及∠CGF的度數；
②連接CF，若要保證△BEF繞點B逆時針旋轉過程中，△CFG始終為等邊三角形，寫出矩形ABCD應滿足的條件．
AB
BC
=
3
3
【考點】四邊形綜合題．
【答案】（1）FG=CG，∠CGF=120°；
（2）（1）中結論仍然成立，證明見解析；
（3）①FG=CG，∠CGF=90°；②要保證△BEF繞點B逆時針旋轉過程中，△CGF始終為等邊三角形，則矩形ABCD應滿足的條件為．
（2）（1）中結論仍然成立，證明見解析；
（3）①FG=CG，∠CGF=90°；②要保證△BEF繞點B逆時針旋轉過程中，△CGF始終為等邊三角形，則矩形ABCD應滿足的條件為
CD
CB
=
3
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：159引用：3難度：0.1
相似題
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1．如圖，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分線交BC于點E．DH⊥AE于點H，連接BH并延長交CD于點F，連接DE交BF于點O，下列結論：①AD=AE；②∠AED=∠CED；③OE=OD；④BH=HF；⑤BC-CF=2HE，其中正確的有（ ）2發布：2025/5/23 22:30:2組卷：1273引用：4難度：0.2 -
2．【問題提出】
（1）如圖①，OP為∠AOB的平分線，PC⊥OA于點C，PD⊥OB于點D，若S△OPC=3，則S△OPD=
【問題探究】
（2）如圖②，a、b是兩條平行的直線，且a、b之間的距離為12，點A為直線a上一點，點B、C為直線b上兩點，且點B在點C的左側，若∠BAC=45°，求BC的最小值；
【問題解決】
（3）如圖③，四邊形ABCD是園林規劃局欲修建的一塊平行四邊形園林的大致示意圖，沿對角線BD修一條人行走道，沿∠BAD的平分線AP（點P在BD上）修一條園林灌溉水渠．根據規劃要求，∠ABC=120°，AP=120米，且使得平行四邊形ABCD的面積盡可能小，問平行四邊形ABCD的面積是否存在最小值？若存在，求出其最小值，若不存在，請說明理由．
發布：2025/5/23 22:30:2組卷：137引用：1難度：0.2 -
3．如圖，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60°，點P從點A出發，沿線段AD以每秒1個單位長度的速度向終點D運動，過點P作PQ⊥AB于點Q，作PM⊥AD交直線AB于點M，交直線BC于點F，設△PQM與菱形ABCD重疊部分圖形的面積為S（平方單位），點P的運動時間為t（s）（0≤t≤4）．
（1）當點M與點B重合時，t=s；
（2）當t為何值時，△APQ≌△BMF；
（3）求S與t的函數關系式；
（4）以線段PQ為邊，在PQ右側作等邊△PQE，當2≤t≤4時，請直接寫出點E運動路徑的長．發布：2025/5/23 21:0:1組卷：200引用：1難度：0.1