已知圓C：x2+y2-2x+4my+4m2=0，圓C1：x2+y2=25，以及直線l：3x-4y-15=0．
（1）求圓C1：x2+y2=25被直線l截得的弦長；
（2）當m為何值時，圓C與圓C1的公共弦平行于直線l；
（3）是否存在m,使得圓C被直線l所截的弦AB中點到點P（2，0）距離等于弦AB長度的一半？若存在，求圓C的方程；若不存在，請說明理由．
【考點】相交弦所在直線的方程；圓與圓的位置關系及其判定．
【答案】（1）8；
（2）；
（3）不存在；
假設這樣實數m存在．
設弦AB中點為M，由已知得|AB|=2|PM|，即|AM|=|BM|=|PM|
所以點P（2，0）在以弦AB為直徑的圓上．
設以弦AB為直徑的圓方程為：x2+y2-2x+4my+4m2+λ（3x-4y-15）=0，
整理得x2+（3λ-2）x+y2+（4m-4λ）y+4m2-15λ=0，
則圓心坐標為（-，-），即M（，），
則
消去λ得：100m2-144m+216=0，25m2-36m+54=0
因為Δ=362-4×25×54=36（36-25×6）＜0
所以方程25m2-36m+54=0無實數根，
所以，假設不成立，即這樣的圓不存在．即m不存在．
（2）
2
3
（3）不存在；
假設這樣實數m存在．
設弦AB中點為M，由已知得|AB|=2|PM|，即|AM|=|BM|=|PM|
所以點P（2，0）在以弦AB為直徑的圓上．
設以弦AB為直徑的圓方程為：x2+y2-2x+4my+4m2+λ（3x-4y-15）=0，
整理得x2+（3λ-2）x+y2+（4m-4λ）y+4m2-15λ=0，
則圓心坐標為（-
3
λ
-
2
2
4
m
-
4
λ
2
2
-
3
λ
2
4
λ
-
4
m
2
則
2 2 - 2 × 2 + 4 m 2 + λ （ 3 × 2 - 15 ） = 0 |
3 × 2 - 3 λ 2 - 4 × 4 λ - 4 m 2 - 15 = 0 |
?
4 m 2 - 9 λ = 0 |
16 m - 25 λ - 24 = 0 |
消去λ得：100m2-144m+216=0，25m2-36m+54=0
因為Δ=362-4×25×54=36（36-25×6）＜0
所以方程25m2-36m+54=0無實數根，
所以，假設不成立，即這樣的圓不存在．即m不存在．
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：1547引用：6難度：0.1
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