已知圓C:(x+2)2+y2=5,直線l:mx-y+1+2m=0,m∈R.
(1)求證:對m∈R,直線l與圓C總有兩個不同的交點A、B;
(2)求弦AB的中點M的軌跡方程,并說明其軌跡是什么曲線;
(3)是否存在實數m,使得圓C上有四點到直線l的距離為455?若存在,求出m的范圍;若不存在,說明理由.
4
5
5
【考點】直線與圓的位置關系.
【答案】(1)證明:
圓C:(x+2)2+y2=5,的圓心為C(-2,0),半徑為,所以圓心C到直線l:mx-y+1+2m=0的距離,
所以直線l與圓C相交,即直線l與圓C總有兩個不同的交點;
(2)M的軌跡方程是(x≠-2),它是一個以為圓心,以為半徑的圓挖去點(-2,0);
(3)存在,m>2或m<-2,理由:
假設存在直線l,使得圓上有四點到直線l的距離為,
由于圓心C(-2,0),半徑為,
則圓心C(-2,0)到直線l的距離為:
,
化簡得m2>4,解得m>2或m<-2.
圓C:(x+2)2+y2=5,的圓心為C(-2,0),半徑為
5
|
-
2
m
+
1
+
2
m
1
+
m
2
|
=
|
1
1
+
m
2
|
<
5
所以直線l與圓C相交,即直線l與圓C總有兩個不同的交點;
(2)M的軌跡方程是
(
x
+
2
)
2
+
(
y
-
1
2
)
2
=
1
4
(
-
2
,
1
2
)
1
2
(3)存在,m>2或m<-2,理由:
假設存在直線l,使得圓上有四點到直線l的距離為
4
5
5
由于圓心C(-2,0),半徑為
5
則圓心C(-2,0)到直線l的距離為:
|
-
2
m
+
1
+
2
m
1
+
m
2
|
=
|
1
1
+
m
2
|
<
|
5
-
4
5
5
|
化簡得m2>4,解得m>2或m<-2.
【解答】
【點評】
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發布:2024/9/4 5:0:8組卷:238難度:0.5
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