如圖，在正方形ABCD中，E是邊CD上的一點(diǎn)，若AE與BD交于點(diǎn)G，F(xiàn)是BD上的一點(diǎn)，且FE=FC．
（1）求證：AF=EF；
（2）求證：AF⊥EF；
（3）若正方形的邊長(zhǎng)為63+6，∠BAF=30°，求AF與AG的長(zhǎng)度．
3
【考點(diǎn)】四邊形綜合題．
【答案】（1）見解析過程；
（2）見解析過程；
（3）AF=12，AG=6+2．
（2）見解析過程；
（3）AF=12，AG=6
2
6
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：109引用：1難度：0.3
相似題
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1．（1）證明推斷：如圖（1），在正方形ABCD中，點(diǎn)E，Q分別在邊BC，AB上，DQ⊥AE于點(diǎn)O，點(diǎn)G，F(xiàn)分別在邊CD，AB上，GF⊥AE．求證：AE=FG；
（2）類比探究：如圖（2），在矩形ABCD中，=k（k為常數(shù)）．將矩形ABCD沿GF折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)E處，得到四邊形FEPG，EP交CD于點(diǎn)H，連接AE交GF于點(diǎn)O．試探究GF與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；BCAB
（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，連接CP，當(dāng)時(shí)k=，若tan∠CGP=34，GF=243，求CP的長(zhǎng)．5
發(fā)布：2025/5/24 10:30:2組卷：3153引用：13難度：0.4 -
2．綜合與實(shí)踐
數(shù)學(xué)活動(dòng)：
數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師提出如下數(shù)學(xué)問題：
已知四邊形ABCD與四邊形BEFG都為正方形，P為DF的中點(diǎn)，連接AP，EP，如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，求證：AP=PE．
獨(dú)立思考
（1）請(qǐng)你證明老師提出的問題；
合作交流
（2）解決完上述問題后，“翱翔”小組的同學(xué)受此啟發(fā)，把正方形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)F落在對(duì)角線BD上時(shí)（如圖2），他們認(rèn)為老師提出的結(jié)論仍然成立．請(qǐng)你予以證明；
問題解決
（3）解決完上述問題后，“善思”小組提出如下問題，把正方形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（如圖3），當(dāng)點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一條直線上時(shí)，DE與BC交于點(diǎn)H．若AD=2，BG=2，請(qǐng)直接寫出HC的值．2
發(fā)布：2025/5/24 10:0:2組卷：621引用：1難度：0.4 -
3．數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)總是循序漸進(jìn)、不斷延伸拓展的，數(shù)學(xué)知識(shí)往往起源于人們?yōu)榱私鉀Q某些問題，通過觀察、測(cè)量、思考、猜想出的一些結(jié)論．但是所猜想的結(jié)論不一定都是正確的．人們從已有的知識(shí)出發(fā)，經(jīng)過推理、論證后，如果所猜想的結(jié)論在邏輯上沒有矛盾，就可以作為新的推理的前提，數(shù)學(xué)中稱之為定理．
（1）推理證明：
在八年級(jí)學(xué)習(xí)等腰三角形和直角三角形時(shí)，借助工具測(cè)量就能夠發(fā)現(xiàn)：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，當(dāng)時(shí)并未說明這個(gè)結(jié)論的正確性．九年級(jí)學(xué)習(xí)了矩形的判定和性質(zhì)之后，就可以解決這個(gè)問題了．如圖1，在Rt△ABC中，若CD是斜邊AB上的中線，則，請(qǐng)你用矩形的性質(zhì)證明這個(gè)結(jié)論的正確性．CD=12AB
（2）遷移運(yùn)用：利用上述結(jié)論解決下列問題：
①如圖2，在線段BD異側(cè)以BD為斜邊分別構(gòu)造兩個(gè)直角三角形△ABD與△CBD，E、F分別是BD、AC的中點(diǎn)，判斷EF與AC的位置關(guān)系并說明理由；
②如圖3，?ABCD對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，分別以AC、BD為斜邊且在同側(cè)分別構(gòu)造兩個(gè)直角三角形△ACE與△BDE，求證：?ABCD是矩形．發(fā)布：2025/5/24 10:30:2組卷：291引用：3難度：0.5
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