【閱讀理解】
排列：從n個元素中選取m（m≤n）個元素，這m個元素稱為一個排列，不同順序視作不同排列，排列數量記作

A

m

n

．
組合：從n個元素中選取m（m≤n）個元素，這m個元素稱為一個組合，不同順序視作同一組合，組合數量記作

C

m

n

．
例如：（甲、乙），（乙、甲）是兩種不同的排列，確實同一種組合．
【問題提出1】在5個點中選取其中3個，有多少種排列？有多少種組合？
【問題解決1】
將5個點分別編號為“1”“2”“3”“4”“5”．
（一）排列：
（1）選取第1個點：
如圖①，從全部5個點中選取1個，有5種情況；
（2）選取第2個點：
如圖①，從剩余4個點中選取1個，有4種情況；
（3）選取第3個點：
如圖①，從剩余3個點中選取1個，有3種情況；
綜上所述，從5個點中任選3個點，共有5×4×3=60種排列，即

A

3

5

=60．
（二）組合：
因為每個組合都包含了3個點，所有每3個點共有

A

3

3

=3×2×1=6（種）排列．例如：包含“1”“2”“3”這3個點的組合，就有（1，2，3）（1，3，2）（2，1，3）（2，3，1）（3，1，2）（3，2，1）共6種不同排列……像這樣，每個組合都重復了6次（即

A

3

3

次），即組合數=排列數的

1

A

3

3

，故“在5個點中選取其中3個”對應組合數

C

3

5

=

A

3

5

A

3

3

=

5

×

4

×

3

3

×

2

×

1

=

10

（種）．
填空：（1）

A

2

5

=

20

20

；
（2）

A

3

m

=

m（m-1）（m-2）

m（m-1）（m-2）

（n≥3）；
（3）

C

2

n

=

n

（

n

-

1

）

2

n

（

n

-

1

）

2

（n≥2）．
【問題提出2】在五邊形中，每次取其中的3個頂點連接成三角形，可以構造多少個三角形？
【問題解決2】
解：問題可以抽象成在5個點中取其中3個，有多少種組合．
∵

C

3

5

=

A

3

5

A

3

3

=

5

×

4

×

3

3

×

2

×

1

=

10

（種），
∴在5個點中取其中3個，有10種組合．
即在五邊形中，每次取其中的3個頂點連接成三角形，可以構造10個三角形．
【問題延伸】在六邊形中，每次取其中的4個頂點連接成四邊形，可以構造多少個四邊形？
（請仿照【問題解決2】利用排列、組合的計算方法解決問題）
【建立模型】在n（n≥3）邊形中，每次取其中的m（m≤n）個頂點連接成m角形，可以構造

n

（

n

-

1

）

……

（

n

-

m

+

1

）

m

（

m

-

1

）

（

m

-

2

）

……

2

×

1

n

（

n

-

1

）

……

（

n

-

m

+

1

）

m

（

m

-

1

）

（

m

-

2

）

……

2

×

1

個m邊形．
【模型應用】在如圖②所示的正方形網格圖中，以格點為頂點的三角形共有

18

18

個．