【定義學(xué)習(xí)】：
過平面內(nèi)一定點(diǎn)作兩條直線（不平行）的垂線，那么這個定點(diǎn)與兩個垂足構(gòu)成的三角形稱為“點(diǎn)足三角形”，在“點(diǎn)足三角形”中，以這個定點(diǎn)為頂點(diǎn)的角稱為“垂角”．
如圖1，OA⊥l1，OB⊥l2，垂足分別為A、B，則△OAB為“點(diǎn)足三角形”，∠AOB為“垂角”．
【性質(zhì)探究】：
（1）兩條直線相交，那么下列命題正確的是 ①③①③（填序號①、②、③）．
①不在這兩條直線上的任意一點(diǎn)都可以畫這兩條直線的“點(diǎn)足三角形”；
②如果存在“點(diǎn)足三角形”、那么它一定是鈍角三角形；
③兩條直線所夾銳角為α度，則過平面內(nèi)一點(diǎn)所畫出的“點(diǎn)足三角形”的“垂角”度數(shù)一定為α或（180-α）度．
（2）如圖2，點(diǎn)O為平面內(nèi)一點(diǎn)，OA⊥l1，OB⊥l2，垂足分別為A、B，將“垂角”繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一個角度，分別與l1，l2，相交于C、D，連接CD．求證：△OAB∽△OCD．
【遷移運(yùn)用】：
（3）如圖3，∠MPN=α，點(diǎn)A在射線PM上，點(diǎn)B是射線PN上的點(diǎn)，且tanα=34，PA=4．則是否存在一點(diǎn)O．使得“點(diǎn)足三角形OAB”的面積為2425，若存在，求出此時PB的長；若不存在，請說明理由．
tanα
=
3
4
24
25
【考點(diǎn)】相似形綜合題．
【答案】①③
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2024/6/29 8:0:10組卷：104引用：2難度：0.5
相似題
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1．在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，對角線BD⊥CD，過點(diǎn)C作CE⊥BC交BD的延長線于點(diǎn)E，連接AE．
（1）證明：△CED∽△BEC；
（2）若EC=EA，證明：=EDAD；ECCD
（3）在（2）的條件下，試求tan∠EAD的值．發(fā)布：2025/5/24 16:30:1組卷：205引用：3難度：0.3 -
2．如果一個三角形的一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍，我們稱這樣的三角形為倍角三角形，并稱這兩個角的公共邊為底邊．
例如：若△ABC中，∠A=2∠B，則△ABC為以邊AB為底邊的倍角三角形．
（1）已知△ABC為倍角三角形，且∠ABC=2∠C．
①如圖1，若BD為△ABC的角平分線，則圖中相等的線段有 ，圖中相似三角形有 ；
②如圖2，若AC的中垂線交邊BC于點(diǎn)E，連接AE，則圖中等腰三角形有 ．
問題解決
（2）如圖3，現(xiàn)有一塊梯形板材ABCD，AD∥BC，∠A=90°，AB=48，BC=132，AD=68．工人師傅想用這塊板材裁出一個△BCP型部件，使得點(diǎn)P在梯形ABCD的邊上，且△BCP為以BC為底邊的倍角三角形．工人師傅在這塊板材上的作法如下：
①作BC的中垂線l交BC于點(diǎn)E；
②在BC上方的直線l上截取EF=33，連接CF并延長，交AD于點(diǎn)P；
③連接BP，得△BCP．
1）請問，若按上述作法，裁得的△BCP型部件是否符合要求？請證明你的想法．
2）是否存在其它滿足要求的△BCP？若存在，請畫出圖形并求出CP的長；若不存在，請說明理由．發(fā)布：2025/5/24 13:30:2組卷：255引用：4難度：0.1 -
3．在平行四邊形ABCD中，AD=8，DC=6，∠FED的頂點(diǎn)在BC上，EF交直線AB于F點(diǎn)．
（1）如圖1，若∠FED=∠B=90°，BE=5，求BF的長；
（2）如圖2，在AB上取點(diǎn)G，使BG=BE，連接EG，若∠B=∠FED=60°，求證：；EFED=BECD
（3）如圖3，若∠ABC=90°，點(diǎn)C關(guān)于BD的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C'，CC′交BD于點(diǎn)M，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，連接OC'交AD于點(diǎn)G，求AG的長．
發(fā)布：2025/5/24 14:30:1組卷：496引用：4難度：0.1