已知橢圓方程x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），A（m,0）為橢圓外一定點，過A作直線l交橢圓于P、Q兩點，且有|AP|=λ|AQ|，Q關于x軸的對稱點為B，x軸上一點C，當l變化時，證明：點C在BP上的充要條件是C的坐標為（a2m，0）．
x
2
a
2
y
2
b
2
|
AP
|
|
AQ
|
a
2
m
【考點】直線與圓錐曲線的綜合；橢圓的幾何特征．
【答案】連接AB，
∵B、Q關于x軸對稱，
∴=，
又==λ，依題意與同向，與同向，
∴=λ，=λ．
設P（x1，y1），Q（x2，y2），C（x0，0），則B（x2，-y2），
可得y1=λy2，x1-m=λ（x2-m）①，
x0-x1=λ（x2-x0）②，
又+=1，+=1，
∴=λ2-1③，
將①②代入③中得x0=，
∴點C的坐標為（，0），
由于上述解題過程可逆，∴C在BP上的充要條件是C的坐標為（，0）．
∵B、Q關于x軸對稱，
∴
|
AQ
|
|
AB
|
又
|
AP
|
|
AB
|
|
PC
|
|
CB
|
AP
AQ
PC
CB
∴
AP
AQ
PC
CB
設P（x1，y1），Q（x2，y2），C（x0，0），則B（x2，-y2），
可得y1=λy2，x1-m=λ（x2-m）①，
x0-x1=λ（x2-x0）②，
又
x
2
1
a
2
y
2
1
b
2
x
2
2
a
2
y
2
2
b
2
∴
（
x
1
+
λ
x
2
）
（
λ
x
2
-
x
1
）
a
2
將①②代入③中得x0=
a
2
m
∴點C的坐標為（
a
2
m
由于上述解題過程可逆，∴C在BP上的充要條件是C的坐標為（
a
2
m
【解答】
【點評】
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發布：2024/4/20 14:35:0組卷：20引用：2難度：0.1
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