已知拋物線C：y2=2px（p＞0），拋物線C上橫坐標為1的點到焦點F的距離為3．
（Ⅰ）求拋物線C的方程及其準線方程；
（Ⅱ）過（-1，0）的直線l交拋物線C于不同的兩點A，B，交直線x=-4于點E，直線BF交直線x=-1于點D．是否存在這樣的直線l,使得DE∥AF？若不存在，請說明理由；若存在，求出直線l的方程．
【答案】（Ⅰ）x=-2；
（Ⅱ）
直線BF的方程為，
又xD=-1，所以，所以，
因為DE∥AF，所以直線DE與直線AF的斜率相等．
又E（-4，-3k），所以．
整理得，即，
化簡得，，即x1+x2=7．
所以，整理得，
解得．經檢驗，符合題意．
所以存在這樣的直線l，直線l的方程為或．
方法二：
因為DE∥AF，所以，所以．
整理得x1x2+（x1+x2）=8，即，
整理得．
解得，經檢驗，符合題意．
所以存在這樣的直線l，直線l的方程為或．
（Ⅱ）
直線BF的方程為
y
=
y
2
x
2
-
2
（
x
-
2
）
又xD=-1，所以
y
D
=
-
3
y
2
x
2
-
2
D
（
-
1
，
-
3
y
2
x
2
-
2
）
因為DE∥AF，所以直線DE與直線AF的斜率相等．
又E（-4，-3k），所以
-
3
k
+
3
y
2
x
2
-
2
-
3
=
y
1
x
1
-
2
整理得
k
=
y
1
x
1
-
2
+
y
2
x
2
-
2
k
=
k
（
x
1
+
1
）
x
1
-
2
+
k
（
x
2
+
1
）
x
2
-
2
化簡得
1
=
x
1
+
1
x
1
-
2
+
x
2
+
1
x
2
-
2
1
=
2
x
1
x
2
-
（
x
1
+
x
2
）
-
4
x
1
x
2
-
2
（
x
1
+
x
2
）
+
4
所以
8
-
2
k
2
k
2
=
7
k
2
=
8
9
解得
k
=±
2
2
3
k
=±
2
2
3
所以存在這樣的直線l，直線l的方程為
y
=
2
2
3
（
x
+
1
）
y
=
-
2
2
3
（
x
+
1
）
方法二：
因為DE∥AF，所以
|
BA
|
|
BE
|
=
|
BF
|
|
BD
|
x
2
-
x
1
x
2
+
4
=
x
2
-
2
x
2
+
1
整理得x1x2+（x1+x2）=8，即
8
-
2
k
2
k
2
=
7
整理得
k
2
=
8
9
解得
k
=±
2
2
3
k
=±
2
2
3
所以存在這樣的直線l，直線l的方程為
y
=
2
2
3
（
x
+
1
）
y
=
-
2
2
3
（
x
+
1
）
【解答】
【點評】
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發布：2024/9/15 3:0:8組卷：501引用：5難度：0.6