設(shè)拋物線Γ：y2=2px（p＞0），D（x0，y0）滿足y20＞2px0，過點(diǎn)D作拋物線Γ的切線，切點(diǎn)分別為A（x1，y1），B（x2．y2）．
（1）求證：直線yy1=p（x+x1）與拋物線Γ相切：
（2）若點(diǎn)A坐標(biāo)為（4，4），點(diǎn)D在拋物線Γ的準(zhǔn)線上，求點(diǎn)B的坐標(biāo)：
（3）設(shè)點(diǎn)D在直線x+p=0上運(yùn)動，直線AB是否恒過定點(diǎn)？若恒過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)：若不存在，請說明理由．
y
2
0
【考點(diǎn)】直線與拋物線的綜合．
【答案】（1）證明：方法一：拋物線Γ：y2=2px（p＞0），求導(dǎo)，2yy′=2p，即，
所以在A（x1，y1）點(diǎn)的切線的斜率=，
所以切線方程為，由=2px1，整理得yy1=p（x+x1），
所以直線yy1=p（x+x1）與拋物線Γ相切；
方法二：由題意可知，
，消去x，整理得y2-2y1y+2px1=0，
則，
所以直線yy1=p（x+x1）與拋物線Γ相切；
（2）B（，-1）；
（3）直線AB恒過定點(diǎn)（p，0）．
y
1
=
p
y
所以在A（x1，y1）點(diǎn)的切線的斜率
k
=
y
′
|
y
=
y
1
p
y
1
所以切線方程為
y
-
y
1
=
p
y
1
（
x
-
x
1
）
y
2
1
所以直線yy1=p（x+x1）與拋物線Γ相切；
方法二：由題意可知，
y y 1 = p （ x + x 1 ） |
y 2 = 2 px |
則
Δ
=
（
2
y
1
）
2
-
4
×
2
p
x
1
=
4
y
2
1
-
8
p
x
1
=
0
所以直線yy1=p（x+x1）與拋物線Γ相切；
（2）B（
1
4
（3）直線AB恒過定點(diǎn)（p，0）．
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：119引用：2難度：0.4
相似題
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1．拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l,A，B是拋物線上的兩個動點(diǎn)，且滿足AF⊥BF，P為線段AB的中點(diǎn)，設(shè)P在l上的射影為Q，則
的最大值是（ ）|PQ||AB|發(fā)布：2024/12/29 5:30:3組卷：470引用：8難度：0.5 -
2．如圖，設(shè)拋物線y2=2px的焦點(diǎn)為F，過x軸上一定點(diǎn)D（2，0）作斜率為2的直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，記△BCF的面積為S1，△ACF的面積為S2，若，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）S1S2=14發(fā)布：2024/12/17 0:0:2組卷：163引用：6難度：0.6 -
3．如圖，已知點(diǎn)P是拋物線C：y2=4x上位于第一象限的點(diǎn)，點(diǎn)A（-2，0），點(diǎn)M，N是y軸上的兩個動點(diǎn)（點(diǎn)M位于x軸上方），滿足PM⊥PN，AM⊥AN，線段PN分別交x軸正半軸、拋物線C于點(diǎn)D，Q，射線MP交x軸正半軸于點(diǎn)E．
（Ⅰ）若四邊形ANPM為矩形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（Ⅱ）記△DOP，△DEQ的面積分別為S1，S2，求S1?S2的最大值．發(fā)布：2024/12/29 1:0:8組卷：96引用：2難度：0.4