2022-2023學年上海市虹口區復旦大學附屬復興中學高二（下）期中數學試卷

一、填空題（本大題共12小題，1-6題每題4分，7-12題每題5分，滿分54分）

• 1．直線x-y-1=0的傾斜角大小為

  ．
  組卷：73引用：2難度：0.9

  解析

• 2．橢圓2x²+3y²=6的焦距為

  ．
  組卷：21引用：3難度：0.9

  解析

• 3．拋物線y²=2x的準線方程為
  組卷：410引用：11難度：0.8

  解析

• 4．雙曲線

  x

  2

  4

  -

  y

  2

  36

  =1的漸近線方程為

  ．
  組卷：106引用：2難度：0.7

  解析

• 5．已知圓x²+y²=5和點A（2，-1），則過點A的圓的切線方程為

  ．
  組卷：86引用：1難度：0.7

  解析

• 6．已知直線l過點（-1，0）且與直線2x-y=0垂直，則圓x²+y²-4x+8y=0與直線l相交所得的弦長為

  ．
  組卷：810引用：6難度：0.7

  解析

• 7．若直線l₁：xcosθ+2y=0與直線l₂：3x+ysinθ+3=0垂直，則sin2θ=

  ．
  組卷：295引用：3難度：0.6

  解析

三、解答題（本大題共5小題，滿分58分）解答下列各題要有必要的解題步驟，并請在規定處答題，否則不得分.

• 20．設拋物線Γ：y²=2px（p＞0），D（x₀，y₀）滿足

  y

  2

  0

  ＞2px₀，過點D作拋物線Γ的切線，切點分別為A（x₁，y₁），B（x₂．y₂）．
  （1）求證：直線yy₁=p（x+x₁）與拋物線Γ相切：
  （2）若點A坐標為（4，4），點D在拋物線Γ的準線上，求點B的坐標：
  （3）設點D在直線x+p=0上運動，直線AB是否恒過定點？若恒過定點，求出定點坐標：若不存在，請說明理由．
  組卷：119引用：2難度：0.4

  解析

• 21．已知橢圓Ω：

  x

  2

  16

  +

  y

  2

  12

  =

  1

  ．雙曲線Γ的實軸頂點就是橢圓Ω的焦點，雙曲線Γ的焦距等于橢圓Ω的長軸長．
  （1）求雙曲線Γ的標準方程；
  （2）設直線l經過點E（3，0）與橢圓Ω交于A、B兩點，求△OAB的面積的最大值；
  （3）設直線l：y=kx+m（其中k,m為整數）與橢圓Ω交于不同兩點A、B，與雙曲線Γ交于不同兩點C，D，問是否存在直線l,使得向量

  AC

  +

  BD

  =

  0

  ，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由．
  組卷：60引用：1難度：0.3

  解析