在平面直角坐標系xOy中，已知點A（-6，0），B（6，0），動點E（x,y）滿足直線AE與BE的斜率之積為-13，記E的軌跡為曲線C．
（1）求C的方程，并說明C是什么曲線；
（2）過點D（2，0）的直線l交C于P，Q兩點，過點P作直線x=3的垂線，垂足為G，過點O作OM⊥QG，垂足為M．證明：存在定點N，使得|MN|為定值．
A
（
-
6
，
0
）
B
（
6
，
0
）
-
1
3
【考點】軌跡方程．
【答案】（1），C是中心在原點，焦點在x軸上，不含左、右頂點的橢圓．；
（2）證明：由（1）知直線l與x軸不重合，可設l：x=my+2，
聯立
，得（m2+3）y2+4my-2=0．
設P（x1，y1），Q（x2，y2），
則，，Δ=24m2+24＞0，
所以．
因為G（3，y1），Q（my2+2，y2），所以直線QG的斜率為==2y1，
所以直線QG的方程為y-y1=2y1（x-3），即y=2y1（x-），所以直線QG過定點．
因為OM⊥QG，所以△OHM為直角三角形，
取OH的中點，則，即|MN|為定值．
綜上，存在定點，使得|MN|為定值．
x
2
6
+
y
2
2
=
1
（
|
x
|
≠
6
）
（2）證明：由（1）知直線l與x軸不重合，可設l：x=my+2，
聯立
x = my + 2 |
x 2 6 + y 2 2 = 1 |
設P（x1，y1），Q（x2，y2），
則
y
1
+
y
2
=
-
4
m
m
2
+
3
y
1
y
2
=
-
2
m
2
+
3
所以
m
=
1
2
（
1
y
1
+
1
y
2
）
因為G（3，y1），Q（my2+2，y2），所以直線QG的斜率為
y
2
-
y
1
m
y
2
-
1
y
2
-
y
1
1
2
（
1
y
1
+
1
y
2
）
y
2
-
1
所以直線QG的方程為y-y1=2y1（x-3），即y=2y1（x-
5
2
H
（
5
2
，
0
）
因為OM⊥QG，所以△OHM為直角三角形，
取OH的中點
N
（
5
4
，
0
）
|
MN
|
=
1
2
|
OH
|
=
5
4
綜上，存在定點
N
（
5
4
，
0
）
【解答】
【點評】
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