【問題提出】如圖1，△ABD、△ACE都是等邊三角形，求證：BE=DC．
【方法提煉】這兩個共頂點的等邊三角形，其在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形，即△ADC≌△ABE．如果把小等邊三角形的一邊看作“小手”，大等邊三角形的一邊看作“大手”，這樣就類似“大手拉著小手”，不妨稱之為“手拉手”基本圖形，當圖形中只有一個等邊三角形時，可嘗試在它的一個頂點作另一個等邊三角形，構造“手拉手”基本圖形，從而解決問題．
【方法應用】
（1）等邊三角形ABC中，E是邊AC上一定點，D是直線BC上一動點，以DE為一邊作等邊三角形DEF，連接CF．
①如圖2，若點D在邊BC上，求證：CE+CF=CD．
②如圖3，若點D在邊BC的延長線上，線段CE、CF、CD之間的關系為 CF-CE=CDCF-CE=CD．（直接寫出結論）
（2）如圖4，等腰△ABC中，120°＜∠BAC＜180°，AB=AC，AD⊥BC，且交BC于點D，以AC為邊作等邊△ACE，直線BE交直線AD于點F，連接FC交AE于點M，寫出FE、FA、FC之間的數(shù)量關系，并加以說明．
（3）如圖5，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8，點D是BC的中點，點P是AC邊上的一個動點，連接PD，以PD為邊在PD的下方作等邊三角形PDQ，連接CQ，則CQ是否有最小值，如有，求出它的最小值；沒有，請說明理由．
【考點】三角形綜合題．
【答案】CF-CE=CD
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/10/2 3:0:2組卷：893引用：4難度：0.5
相似題
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1．如圖，△AOB中，OA=OB=6，將△AOB繞點O逆時針旋轉得到△COD．OC與AB交于點G，CD分別交OB、AB于點E、F．
（1）∠A與∠D的數(shù)量關系是：∠A ∠D；
（2）求證：△AOG≌△DOE；
（3）當A，O，D三點共線時，恰好OB⊥CD，求此時CD的長．發(fā)布：2025/5/25 10:0:1組卷：82引用：1難度：0.2 -
2．如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的頂點A在△ECD的斜邊DE上，連接DB．
（1）證明：△EAC≌△DBC；
（2）當點A在線段ED上運動時，猜想AE、AD和AC之間的關系，并證明．
（3）在A的運動過程中，當，AE=2時，求△ACM的面積．AD=6發(fā)布：2025/5/25 8:30:2組卷：376引用：5難度：0.1 -
3．【閱讀理解】
截長補短法，是初中數(shù)學幾何題中一種輔助線的添加方法．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一短邊相等，從而解決問題．
（1）如圖1，△ABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，∠BDC=120°，探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關系．
解題思路：延長DC到點E，使CE=BD，連接AE，根據(jù)∠BAC+∠BDC=180°，可證∠ABD=∠ACE易證得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等邊三角形，所以AD=DE，從而探尋線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關系．
根據(jù)上述解題思路，請直接寫出DA、DB、DC之間的數(shù)量關系是 ；
【拓展延伸】
（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．若點D是邊BC下方一點，∠BDC=90°，探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關系，并說明理由；
【知識應用】
（3）如圖3，兩塊斜邊長都為14cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角頂點之間的距離PQ的長為 cm.發(fā)布：2025/5/25 9:0:1組卷：427引用：6難度：0.3