綜合與實踐
問題情境：“綜合與實踐”課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對角線剪開，得到兩個全等的三角形紙片，表示為△ABC和△DFE，其中∠ACB=∠DEF=90°，∠A=∠D，將△ABC和△DFE按圖2所示方式擺放，其中點B與點F重合（標記為點B）．當∠ABE=∠A時，延長DE交AC于點G，試判斷四邊形BCGE的形狀，并說明理由．
數學思考：（1）請你解答老師提出的問題；
深入探究：（2）老師將圖2中的△DBE繞點B逆時針方向旋轉，使點E落在△ABC內部，并讓同學們提出新的問題．
①“善思小組”提出問題：如圖3，當∠ABE=∠BAC時，過點A作AM⊥BE交BE的延長線于點M，BM與AC交于點N．試猜想線段AM和BE的數量關系，并加以證明．請你解答此問題；
②“智慧小組”提出問題：如圖4，當∠CBE=∠BAC時，過點A作AH⊥DE于點H，若BC=9，AC=12，求AH的長．請你思考此問題，直接寫出結果．
【考點】四邊形綜合題．
【答案】（1）結論：四邊形BCGE為正方形．理由見解析部分；
（2）①結論：AM=BE．理由見解析部分；
②．
（2）①結論：AM=BE．理由見解析部分；
②
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【解答】
【點評】
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發布：2024/5/14 8:0:9組卷：4180引用：22難度：0.1
相似題
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1．在△ABC中，AB=AC，點D為AB邊上一動點，∠CDE=∠BAC=α，CD=ED，連接BE，EC．
（1）問題發現：
如圖①，若α=60°，則∠EBA=，AD與EB的數量關系是 ；
（2）類比探究：
如圖②，當α=90°時，請寫出∠EBA的度數及AD與EB的數量關系并說明理由；
（3）拓展應用：
如圖③，點E為正方形ABCD的邊AB上的三等分點，以DE為邊在DE上方作正方形DEFG，點O為正方形DEFG的中心，若OA=，請直接寫出線段EF的長度．2發布：2025/5/25 1:30:1組卷：780引用：3難度：0.3 -
2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2．點P為線段AB（不與點A和點B重合）上一點，連接CP，將△ACP沿CP翻折得到△DCP．
（1）如圖1，當點D落在AB上時，AP=；
（2）如圖2，當DP∥AC時，判斷四邊形ACDP的形狀，并說明理由；
（3）當點D落在△ABC內部時，直接寫出AP的取值范圍．發布：2025/5/25 1:30:1組卷：70引用：1難度：0.2 -
3．背景閱讀：
早在三千多年前，我國周朝數學家商高就提出：將一根直尺折成一個直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被記載與我國古代著名數學著作《周髀算經》中，為了方便，在本題中，我們把三邊的比為3：4：5的三角形稱為（3，4，5）型三角形，例如：三邊長分別為9，12，15或的三角形就是（3，4，5）型三角形，用矩形紙片按下面的操作方法可以折出這種類型的三角形．32，42，52
實踐操作：
如圖1，在矩形紙片ABCD中，AD=8cm,AB=12cm.
第一步：如圖2，將圖1中的矩形紙片ABCD沿過點A的直線折疊，使點D落在AB上的點E處，折痕為AF，再沿EF折疊，然后把紙片展平．
第二步：如圖3，將圖2中的矩形紙片再次折疊，使點D與點F重合，折痕為GH，然后展平，隱去AF．
第三步：如圖4，將圖3中的矩形紙片沿AH折疊，得到△AD′H，再沿AD′折疊，折痕為AM，AM與折痕EF交于點N，然后展平．
問題解決：
（1）請在圖4中判斷NF與ND′的數量關系，并加以證明；
（2）請在圖4中證明△AEN（3，4，5）型三角形；
探索發現：
（3）在不添加字母的情況下，圖4中還有哪些三角形是（3，4，5）型三角形？請找出并直接寫出它們的名稱．發布：2025/5/25 2:0:6組卷：183引用：4難度：0.1