【問題提出】：

（1）如圖1，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，則cos∠BAC=

5

13

5

13

．
【問題探究】：
（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，在矩形內部有一動點P，滿足tan∠APB=3．小明打算找出P到CD的最短距離．他的操作如下：
在BC上取一點E，使得BE=2，連接AE，作△ABE的外接圓，圓心為O，AE為直徑，過點O作CD的垂線，交⊙O于點P，交CD于點F，此時P到CD的距離最短．
問：以上操作是否合理？若合理，請求出P到CD的最短距離．若不合理，請說明理由．
【問題解決】：
（3）如圖3，某學校的人工智能教室是矩形ABCD形狀，其中AB=8米，BC=10米，為了提高課堂上小組合作學習的效率，學校想把教室設計成幾部分．設計思路如下：在矩形ABCD內部找一點P，連接AP，BP，DP，使得

S

△

APD

=

5

9

S

四邊形

ABPD

，且

cos

∠

APB

=

3

5

．其中△APD是老師課堂展示部分，△ABP是小組合作交流部分，剩下的四邊形BCDP是學生創造性設計部分．請計算課堂展示部分△APD的面積．