對于拋物線：y1=-x2-2x+3，y2=-2x2-4x+6，y3=-3x2-6x+9，…，我們把具備以上整數系數形式的拋物線稱為“同族拋物線”．
（1）寫出以上有關“同族拋物線”共有的三點性質；
（2）在“同族拋物線”中的第n條拋物線與x軸交于E，F兩點，頂點為H，是否存在△EFH為等邊三角形，若存在，求n的值，若不存在，說明理由；
（3）過點P（m,0）的直線l垂直于x軸，直線l與“同族拋物線”中的兩條相鄰拋物線yn，yn+1相交于點M，N．
①若-3≤m≤1，求出線段MN的長與m之間的關系式，并判斷此關系式是否具備“同族拋物線”的性質；
②若兩條相鄰拋物線yn，yn+1分別與y軸交于A，B兩點，且直線l不與AB重合，判斷是否存在實數m,使MN=AB，若存在，求出實數m,若不存在，說明理由．
【考點】二次函數綜合題．
【答案】（1）①開口向下；②函數和x軸的交點為（1，0），（-3，0）；③對稱軸為x=-1（答案不唯一）；
（2）不存在，理由見解答；
（3）①具備“同族拋物線”的性質；②存在，m=-2或-1．
（2）不存在，理由見解答；
（3）①具備“同族拋物線”的性質；②存在，m=-2或-1
±
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【解答】
【點評】
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發布：2024/4/20 14:35:0組卷：138引用：2難度：0.4
相似題
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1．綜合與探究：
如圖，拋物線y=-x2+x+6與x軸交于點A，B（點A在點B的左側），與y軸交于點C，直線l經過B，C兩點．18
（1）求A，B兩點的坐標及直線l的函數表達式．
（2）點D是直線l上方拋物線上一點，其橫坐標為m,過點D作直線DE⊥x軸于點E，交直線l于點F．當DF=2EF時，求點D的坐標．
（3）在（2）的條件下，在y軸上是否存在點P，使得∠PAB=2∠DAB？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
發布：2025/6/15 23:30:1組卷：1677引用：6難度：0.4 -
2．如圖所示，拋物線y=x2-2x-3與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，點M為拋物線的頂點．
（1）求點C及頂點M的坐標．
（2）若點N是第四象限內拋物線上的一個動點，連接BN、CN，求△BCN面積的最大值及此時點N的坐標．
（3）直線CM交x軸于點E，若點P是線段EM上的一個動點，是否存在以點P、E、O為頂點的三角形與△ABC相似．若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．發布：2025/6/15 20:30:5組卷：511引用：3難度：0.1 -
3．如圖，拋物線y=x2+bx-2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且A（-1，0）．12
（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結論；
（3）點M是拋物線對稱軸上的一個動點，當△ACM周長最小時，求點M的坐標及△ACM的最小周長．發布：2025/6/15 6:30:1組卷：2010引用：14難度：0.5