綜合與實踐
問題提出
某興趣小組開展綜合實踐活動：在Rt△ABC中，∠C=90°，D為AC上一點，CD=2，動點P以每秒1個單位的速度從C點出發(fā)，在三角形邊上沿C→B→A勻速運動，到達(dá)點A時停止，以DP為邊作正方形DPEF．設(shè)點P的運動時間為t s,正方形DPEF的面積為S，探究S與t的關(guān)系．
初步感知
（1）如圖1，當(dāng)點P由點C運動到點B時，
①當(dāng)t=1時，S=33；
②S關(guān)于t的函數(shù)解析式為 S=t2+2（0＜t≤2）S=t2+2（0＜t≤2）．
（2）當(dāng)點P由點B運動到點A時，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)S是關(guān)于t的二次函數(shù)，并繪制成如圖2所示的圖象．請根據(jù)圖象信息，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式及線段AB的長．
延伸探究
（3）若存在3個時刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）對應(yīng)的正方形DPEF的面積均相等．
①t1+t2=44；
②當(dāng)t3=4t1時，求正方形DPEF的面積．
2
【考點】二次函數(shù)綜合題．
【答案】3；S=t2+2（0＜t≤2）；4
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/8/3 8:0:9組卷：3483引用：27難度：0.3
相似題
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1．如圖1，直線y=-x+5與x軸、y軸分別交于B、C兩點，經(jīng)過B、C兩點的拋物線與x軸的另一交點坐標(biāo)為A（-1，0）．
（1）求B、C兩點的坐標(biāo)及該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）P在線段BC上的一個動點（與B、C不重合），過點P作直線a∥y軸，交拋物線于點E，交x軸于點F，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m.
①若點P的橫坐標(biāo)為m,請用m表示線段PE的長度并寫出m的取值范圍；
②有人認(rèn)為：當(dāng)直線a與拋物線的對稱軸重合時，線段PE的值最大，你同意他的觀點嗎？請說明理由；
③過點P作直線b∥x軸（圖2），交AC于點Q，那么在x軸上是否存在點R，使得△PQR與△BOC相似？若存在，請求出點R的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．發(fā)布：2025/5/24 9:0:1組卷：155引用：3難度：0.3 -
2．拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過A（-1，0），B（3，0）兩點，與y軸正半軸交于點C．
（1）求此拋物線解析式；
（2）如圖①，連接BC，點P為拋物線第一象限上一點，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m,△PBC的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并求S最大時P點坐標(biāo)；
（3）如圖②，連接AC，在拋物線的對稱軸上是否存在點M，使△MAC為等腰三角形？若存在，請直接寫出符合條件的點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．發(fā)布：2025/5/24 8:0:1組卷：301引用：3難度：0.1 -
3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知二次函數(shù)y=a（x-1）2+k的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），AB=4，與y軸交于點C，E為拋物線的頂點，且tan∠ABE=2．
（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）已知P在第四象限的拋物線上，連接AE交y軸于點M，連接PE交x軸于點N，連接MN，若S△EAP=3S△EMN，求點P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，將原拋物線沿y軸翻折得到一個新拋物線，A點的對應(yīng)點為點F，過點C作直線l與新拋物線交于另一點M，與原拋物線交于另一點N，是否存在這樣一條直線，使得△FMN的內(nèi)心在直線EF上？若存在，求出直線l的解析式；若不存在，請說明理由．
發(fā)布：2025/5/24 9:0:1組卷：767引用：5難度：0.3