已知二次函數圖象的頂點坐標為（0，1），且過點（-1，54），直線y=kx+2與y軸相交于點P，與二次函數圖象交于不同的兩點A（x1，y1），B（x2，y2）．
（1）求該二次函數的解析式．
（2）對（1）中的二次函數，當自變量x取值范圍在-1＜x＜3時，請寫出其函數值y的取值范圍；（不必說明理由）
（3）求證：在此二次函數圖象下方的y軸上，必存在定點G，使△ABG的內切圓的圓心落在y軸上，并求△GAB面積的最小值．
（注：在解題過程中，你也可以閱讀后面的材料）
附：閱讀材料
任何一個一元二次方程的根與系數的關系為：兩根的和等于一次項系數與二次項系數的比的相反數，兩根的積等于常數項與二次項系數的比．
即：設一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為x1，x2，
則：x1+x2=-ba，x1?x2=ca
能靈活運用這種關系，有時可以使解題更為簡單．
例：不解方程，求方程x2-3x=15兩根的和與積．
解：原方程變為：x2-3x-15=0
∵一元二次方程的根與系數有關系：x1+x2=-ba，x1?x2=ca
∴原方程兩根之和=--31=3，兩根之積=-151=-15．
5
4
b
a
c
a
b
a
c
a
-
3
1
-
15
1
【答案】見試題解答內容
【解答】
【點評】
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發布：2024/4/20 14:35:0組卷：591引用：50難度：0.1
相似題
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1．對于二次函數給出如下定義：在平面直角坐標系xOy中，二次函數y=ax2+bx+c（a,b,c為常數，且a≠0）的圖象頂點為P（不與坐標原點重合），以OP為邊構造正方形OPMN，則稱正方形OPMN為二次函數y=ax2+bx+c的關聯正方形，稱二次函數y=ax2+bx+c為正方形OPMN的關聯二次函數．若關聯正方形的頂點落在二次函數圖象上，則稱此點為伴隨點．
（1）如圖，直接寫出二次函數y=（x+1）2-2的關聯正方形OPMN頂點N的坐標，并驗證點N是否為伴隨點（填“是“或“否“）：
（2）當二次函數y=-x2+4x+c的關聯正方形OPMN的頂點P與N位于x軸的兩側時，請解答下列問題：
①若關聯正方形OPMN的頂點M、N在x軸的異側時，求c的取值范圍：
②當關聯正方形OPMN的頂點M是伴隨點時，求關聯函數y=-x2+4x+c的解析式；
③關聯正方形OPMN被二次函數y=-x2+4x+c圖象的對稱軸分成的兩部分的面積分別為S1與S2，若S1≤S2，請直接寫出c的取值范圍．13發布：2025/5/23 11:30:2組卷：878引用：2難度：0.1 -
2．如圖，拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于A，B兩點，且OA=2OB，與y軸交于點C，連接BC，拋物線對稱軸為直線x=
，D為第一象限內拋物線上一動點，過點D作DE⊥OA于點E，與AC交于點F，設點D的橫坐標為m.12
（1）求拋物線的表達式；
（2）當線段DF的長度最大時，求D點的坐標；
（3）拋物線上是否存在點D，使得以點O，D，E為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．
發布：2025/5/23 11:30:2組卷：4850引用：18難度：0.4 -
3．如圖，拋物線y=ax2+bx+2交y軸于點C，交x軸于A（-1，0），B（4，0）兩點，作直線BC．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）在拋物線的對稱軸上找一點P，使PC+PA的值最小，求點P的坐標；
（3）M是x軸上的動點，將點M向上平移3個單位長度得到點N，若線段MN與拋物線和直線BC都存在交點，請直接寫出點M的橫坐標xM的取值范圍．發布：2025/5/23 11:30:2組卷：366引用：6難度：0.4