人教五四新版九年級（上）中考題單元試卷：第28章 二次函數（23）

一、解答題（共30小題）

• 1．如圖①，雙曲線y=

  k

  x

  （k≠0）和拋物線y=ax²+bx（a≠0）交于A、B、C三點，其中B（3，1），C（-1，-3），直線CO交雙曲線于另一點D，拋物線與x軸交于另一點E．
  （1）求雙曲線和拋物線的解析式；
  （2）拋物線在第一象限部分是否存在點P，使得∠POE+∠BCD=90°？若存在，請求出滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；
  （3）如圖②，過B作直線l⊥OB，過點D作DF⊥l于點F，BD與OF交于點N，求

  DN

  NB

  的值．
  
  組卷：557引用：52難度：0.1

  解析

• 2．如圖，拋物線y=ax²+bx-3a（a≠0）與x軸交于點A（-1，0）和點B，與y軸交于點C（0，2），連接BC．
  （1）求該拋物線的解析式和對稱軸，并寫出線段BC的中點坐標；
  （2）將線段BC先向左平移2個單位長度，再向下平移m個單位長度，使點C的對應點C₁恰好落在該拋物線上，求此時點C₁的坐標和m的值；
  （3）若點P是該拋物線上的動點，點Q是該拋物線對稱軸上的動點，當以P，Q，B，C四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求此時點P的坐標．
  組卷：1083引用：51難度：0.1

  解析

• 3．已知二次函數y=-x²+bx+c的對稱軸為直線x=2，且經過原點，直線AC解析式為y=kx+4，
  （1）求二次函數解析式；
  （2）若

  S

  △

  AOB

  S

  △

  BOC

  =

  1

  3

  ，求k；
  （3）若以BC為直徑的圓經過原點，求k.
  組卷：734難度：0.1

  解析

• 4．如圖，已知直線l的解析式為y=

  1

  2

  x-1，拋物線y=ax²+bx+2經過點A（m,0），B（2，0），D（1，

  5

  4

  ）三點．
  （1）求拋物線的解析式及A點的坐標，并在圖示坐標系中畫出拋物線的大致圖象；
  （2）已知點 P（x,y）為拋物線在第二象限部分上的一個動點，過點P作PE垂直x軸于點E，延長PE與直線l交于點F，請你將四邊形PAFB的面積S表示為點P的橫坐標x的函數，并求出S的最大值及S最大時點P的坐標；
  （3）將（2）中S最大時的點P與點B相連，求證：直線l上的任意一點關于x軸的對稱點一定在PB所在直線上．
  組卷：522引用：52難度：0.1

  解析

• 5．如圖，已知拋物線y=-x²+2x+3與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，連接BC．
  （1）求A，B，C三點的坐標；
  （2）若點P為線段BC上一點（不與B，C重合），PM∥y軸，且PM交拋物線于點M，交x軸于點N，當△BCM的面積最大時，求△BPN的周長；
  （3）在（2）的條件下，當△BCM的面積最大時，在拋物線的對稱軸上存在一點Q，使得△CNQ為直角三角形，求點Q的坐標．
  組卷：6415難度：0.1

  解析

• 6．已知拋物線y=ax²+bx+c經過A（-1，0）、B（2，0）、C（0，2）三點．
  （1）求這條拋物線的解析式；
  （2）如圖一，點P是第一象限內此拋物線上的一個動點，當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時點P的坐標；
  （3）如圖二，設線段AC的垂直平分線交x軸于點E，垂足為D，M為拋物線的頂點，那么在直線DE上是否存在一點G，使△CMG的周長最??？若存在，請求出點G的坐標；若不存在，請說明理由．
  
  組卷：1573引用：55難度：0.1

  解析

• 7．已知拋物線y=ax²+x+c（a≠0）經過A（-1，0），B（2，0）兩點，與y軸相交于點C，該拋物線的頂點為點M，對稱軸與BC相交于點N，與x軸交于點D．
  （1）求該拋物線的解析式及點M的坐標；
  （2）連接ON，AC，證明：∠NOB=∠ACB；
  （3）點E是該拋物線上一動點，且位于第一象限，當點E到直線BC的距離為

  2

  2

  時，求點E的坐標；
  （4）在滿足（3）的條件下，連接EN，并延長EN交y軸于點F，E、F兩點關于直線BC對稱嗎？請說明理由．
  組卷：643引用：50難度：0.1

  解析

• 8．已知二次函數圖象的頂點坐標為（0，1），且過點（-1，

  5

  4

  ），直線y=kx+2與y軸相交于點P，與二次函數圖象交于不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
  （1）求該二次函數的解析式．
  （2）對（1）中的二次函數，當自變量x取值范圍在-1＜x＜3時，請寫出其函數值y的取值范圍；（不必說明理由）
  （3）求證：在此二次函數圖象下方的y軸上，必存在定點G，使△ABG的內切圓的圓心落在y軸上，并求△GAB面積的最小值．
  （注：在解題過程中，你也可以閱讀后面的材料）
  附：閱讀材料
     任何一個一元二次方程的根與系數的關系為：兩根的和等于一次項系數與二次項系數的比的相反數，兩根的積等于常數項與二次項系數的比．
     即：設一元二次方程ax²+bx+c=0的兩根為x₁，x₂，
     則：x₁+x₂=-

  b

  a

  ，x₁?x₂=

  c

  a

  
     能靈活運用這種關系，有時可以使解題更為簡單．
     例：不解方程，求方程x²-3x=15兩根的和與積．
     解：原方程變為：x²-3x-15=0
  ∵一元二次方程的根與系數有關系：x₁+x₂=-

  b

  a

  ，x₁?x₂=

  c

  a

  
  ∴原方程兩根之和=-

  -

  3

  1

  =3，兩根之積=

  -

  15

  1

  =-15．
  組卷：591引用：50難度：0.1

  解析

• 9．如圖，已知拋物線y=ax²-

  3

  2

  x+c與x軸相交于A、B兩點，并與直線y=

  1

  2

  x-2交于B、C兩點，其中點C是直線y=

  1

  2

  x-2與y軸的交點，連接AC．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）證明：△ABC為直角三角形；
  （3）△ABC內部能否截出面積最大的矩形DEFG？（頂點D、E、F、G在△ABC各邊上）若能，求出最大面積；若不能，請說明理由．
  組卷：1739難度：0.1

  解析

• 10．如圖，已知c＜0，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點（x₂＞x₁），與y軸交于點C．
  （1）若x₂=1，BC=

  5

  ，求函數y=x²+bx+c的最小值；
  （2）過點A作AP⊥BC，垂足為P（點P在線段BC上），AP交y軸于點M．若

  OA

  OM

  =2，求拋物線y=x²+bx+c頂點的縱坐標隨橫坐標變化的函數解析式，并直接寫出自變量的取值范圍．
  組卷：1087引用：50難度：0.3

  解析

一、解答題（共30小題）

• 29．在平面直角坐標系中，拋物線y=x²+（k-1）x-k與直線y=kx+1交于A，B兩點，點A在點B的左側．
  （1）如圖1，當k=1時，直接寫出A，B兩點的坐標；
  （2）在（1）的條件下，點P為拋物線上的一個動點，且在直線AB下方，試求出△ABP面積的最大值及此時點P的坐標；
  （3）如圖2，拋物線y=x²+（k-1）x-k（k＞0）與x軸交于點C、D兩點（點C在點D的左側），在直線y=kx+1上是否存在唯一一點Q，使得∠OQC=90°？若存在，請求出此時k的值；若不存在，請說明理由．
  
  組卷：6575引用：72難度：0.1

  解析

• 30．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-

  4

  3

  x²+bx+c與x軸交于A、D兩點，與y軸交于點B，四邊形OBCD是矩形，點A的坐標為（1，0），點B的坐標為（0，4），已知點E（m,0）是線段DO上的動點，過點E作PE⊥x軸交拋物線于點P，交BC于點G，交BD于點H．
  （1）求該拋物線的解析式；
  （2）當點P在直線BC上方時，請用含m的代數式表示PG的長度；
  （3）在（2）的條件下，是否存在這樣的點P，使得以P、B、G為頂點的三角形與△DEH相似？若存在，求出此時m的值；若不存在，請說明理由．
  組卷：6126引用：62難度：0.1

  解析