已知直線l：X-y+1=0，⊙O：x2+y2=2上的任意一點P到直線l的距離為d.當d取得最大時對應P的坐標（m,n），設g（x）=mx+nx-2lnx.
（1）求證：當x≥1，g（x）≥0恒成立；
（2）討論關于x的方程：mx+nx-g（x）=2x3-4ex2+tx根的個數．
n
x
mx
+
n
x
-
g
（
x
）
=
2
x
3
-
4
e
x
2
+
tx
【答案】（1）證明：由題意得P（1，-1），
∴m=1，n=-1∴
∴，
∴g（x）在[1，+∞）是單調增函數，
∴g（x）≥g（1）=1-1-2ln1=0對于x∈[1，+∞）恒成立．
（2）①當時，方程無解；②當時，方程有一個根；③當時，方程有兩個根．
∴m=1，n=-1∴
g
（
x
）
=
mx
+
n
x
-
2
lnx
=
x
-
1
x
-
2
lnx
∴
g
′
（
x
）
=
1
+
1
x
2
-
2
x
=
x
2
-
2
x
+
1
x
2
=
（
x
-
1
）
2
x
2
≥
0
∴g（x）在[1，+∞）是單調增函數，
∴g（x）≥g（1）=1-1-2ln1=0對于x∈[1，+∞）恒成立．
（2）①當
t
＞
2
e
2
+
2
e
t
=
2
e
2
+
2
e
t
＜
2
e
2
+
2
e
【解答】
【點評】
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發布：2024/4/20 14:35:0組卷：132引用：4難度：0.1