已知定點A（-1，0），F（2，0），定直線l：x=12，不在x軸上的動點P與點F的距離是它到直線l的距離的2倍．設點P的軌跡為E，過點F的直線交E于B、C兩點，直線AB、AC分別交l于點M、N．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）試判斷以線段MN為直徑的圓是否過點F，并說明理由．
1
2
【考點】圓與圓錐曲線的綜合．
【答案】（Ⅰ）x2-=1（y≠0）；
（Ⅱ）以線段MN為直徑的圓經過點F．
①當直線BC與x軸不垂直時，設BC的方程為y=k（x-2）（k≠0）
與雙曲線x2-=1聯立消去y得（3-k2）x2+4k2x-（4k2+3）=0
由題意知3-k2≠0且Δ＞0
設B（x1，y1），C（x2，y2），則
y1y2=k2（x1-2）（x2-2）=k2[x1x2-2（x1+x2）+4]=k2（+4）=
因為x1、x2≠-1，所以直線AB的方程為y=（x+1）
因此M點的坐標為（），
同理可得
因此==0
②當直線BC與x軸垂直時，直線方程為x=2，則B（2，3），C（2，-3）
AB的方程為y=x+1，因此M點的坐標為（），
同理可得
因此=0
綜上=0，即FM⊥FN
故以線段MN為直徑的圓經過點F．
y
2
3
（Ⅱ）以線段MN為直徑的圓經過點F．
①當直線BC與x軸不垂直時，設BC的方程為y=k（x-2）（k≠0）
與雙曲線x2-
y
2
3
由題意知3-k2≠0且Δ＞0
設B（x1，y1），C（x2，y2），則
x 1 + x 2 = 4 k 2 k 2 - 3 |
x 1 x 2 = 4 k 2 + 3 k 2 - 3 |
y1y2=k2（x1-2）（x2-2）=k2[x1x2-2（x1+x2）+4]=k2（
4
k
2
+
3
k
2
-
3
-
8
k
2
k
2
-
3
-
9
k
2
k
2
-
3
因為x1、x2≠-1，所以直線AB的方程為y=
y
1
x
1
+
1
因此M點的坐標為（
1
2
，
3
y
1
2
（
x
1
+
1
）
FM
=
（
-
3
2
，
3
y
1
2
（
x
1
+
1
）
）
同理可得
FN
=
（
-
3
2
，
3
y
2
2
（
x
2
+
1
）
）
因此
FM
?
FN
=
（
-
3
2
）
2
+
9
y
1
y
2
4
（
x
1
+
1
）
（
x
2
+
1
）
4
9
+
-
81
k
2
k
2
-
3
4
（
4
k
2
+
3
k
2
-
3
+
4
k
2
k
2
-
3
+
1
）
②當直線BC與x軸垂直時，直線方程為x=2，則B（2，3），C（2，-3）
AB的方程為y=x+1，因此M點的坐標為（
1
2
，
3
2
FM
=
（
-
3
2
，
3
2
）
同理可得
FN
=
（
-
3
2
，-
3
2
）
因此
FM
?
FN
=
（
-
3
2
）
2
+
3
2
×
（
-
3
2
）
綜上
FM
?
FN
故以線段MN為直徑的圓經過點F．
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：883引用：13難度：0.3
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