如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CF于點(diǎn)F．
[觀察猜想]（1）填空：AE與EF的數(shù)量關(guān)系 AE=EFAE=EF.（提示：取AB的中點(diǎn)M，連接EM）
[類比探究]（2）如圖2，若把條件“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上的任意一點(diǎn)”，其余條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？并說明理由．
[拓展應(yīng)用]（3）如圖3，若把條件“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC延長線上的一點(diǎn)”，其余條件仍不變，那么（1）中的結(jié)論是否成立呢？若成立寫出證明過程，若不成立請說明理由．
【考點(diǎn)】四邊形綜合題．
【答案】AE=EF
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2024/6/23 8:0:10組卷：215引用：4難度：0.3
相似題
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1．【問題發(fā)現(xiàn)】
（1）如圖①，在正方形ABCD中，G是BC上一點(diǎn)（點(diǎn)G與B，C不重合），AE⊥DG交DG于點(diǎn)E，CF⊥DG交DG于點(diǎn)F．試猜想線段AE，CF和EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
【延伸探究】
（2）在其余條件不變的基礎(chǔ)上延長AE，交DC于點(diǎn)H，連接AG，BH，交于點(diǎn)P，如圖②．求證：AG⊥BH；
【問題解決】
（3）如圖③是一塊邊長為1米的正方形鋼板ABCD．由于磨損，該鋼板的頂點(diǎn)B，C，D均不能使用，王師傅計劃過點(diǎn)A裁出一個形如四邊形AEGF的零件，其中點(diǎn)F，E，G分別在AB，CD，BC邊上，且F為AB的中點(diǎn)，GF⊥GE交DC于點(diǎn)E，連接AE，求王師傅能裁出四邊形AEGF的最大面積是多少？發(fā)布：2025/5/23 8:30:2組卷：293引用：2難度：0.3 -
2．問題提出
（1）如圖①，在矩形ABCD的邊BC上找一點(diǎn)E，將矩形沿直線DE折疊，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為C′，再在AB上找一點(diǎn)F，將矩形沿直線DF折疊，使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′落在DC上，則∠EDF=．
問題探究
（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，點(diǎn)P是矩形ABCD邊AB上一點(diǎn)，連接PD、PC，將△ADP、△BCP分別沿PD、PC翻折，得到△A′DP、△B′PC，當(dāng)P、A′、B′三點(diǎn)共線時，則稱P為AB邊上的“優(yōu)疊點(diǎn)”，求此時AP的長度．
問題解決
（3）如圖③，矩形ABCD位于平面直角坐標(biāo)系中，AD=4，AD＜AB，點(diǎn)A在原點(diǎn)，B，D分別在x軸與y軸上，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是CD和BC邊上的動點(diǎn)，運(yùn)動過程中始終保持DE+BF=4．當(dāng)點(diǎn)P是AB邊上唯一的“優(yōu)疊點(diǎn)”時，連接PE交BD于點(diǎn)M，連接PF交BD于點(diǎn)N，請問DM+BN是否能取得最大值？如果能，請確定此時點(diǎn)M的位置（即求出點(diǎn)M的坐標(biāo)）及四邊形ADEP的面積，若不能，請說明理由．
發(fā)布：2025/5/23 8:30:2組卷：691引用：1難度：0.1 -
3．綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．
（1）操作判斷
操作一：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，把紙片展平，得到折痕EF；
操作二：在AD上選一點(diǎn)P，沿BP折疊，使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)部點(diǎn)Q處，把紙片展平，連接PQ，BQ．根據(jù)以上操作，當(dāng)點(diǎn)Q在EF上（如圖1）時，∠QBC=°．
（2）遷移探究
小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：
將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長PQ交CD于點(diǎn)G，連接BG．對角線AC與BP、BG分別交于點(diǎn)M、N，連接PN．當(dāng)點(diǎn)Q在EF上（如圖2）時，判斷線段PN與BG的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）拓展應(yīng)用
在（2）的探究中，改變點(diǎn)P在AD上的位置，當(dāng)點(diǎn)G在線段FC上時（如圖3），若正方形的邊長為63，求S△BPG的值．，FG=3
發(fā)布：2025/5/23 8:0:2組卷：358引用：1難度：0.2