如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-16x2+bx+c與x軸交于A、B（4，0）兩點，與y軸交于點C（0，4），連接AC．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）如圖1，點P為拋物線上第二象限內的一個動點，連接AP、OP，記AC和OP的交點為點D，過點O作AC的平行線交拋物線分別于點E、點F，點G為直線EF上的一個動點，連接GA、GD．當S△APDS△AGD最大時，求S△APDS△AGD的最大值和此時點P的坐標．
（3）如圖2，將△AOC繞著點O順時針旋轉α（0°＜α＜90°）得到△A1OC1使得OC1∥AC，點M是x軸上的一個動點，點N是平面內任意一點．是否存在這樣的點M、N，使得以點A1、C1、M、N為頂點的四邊形是以A1M為一邊的菱形．若存在，請直接寫出點N的橫坐標；若不存在，請說明理由．
1
6
S
△
APD
S
△
AGD
S
△
APD
S
△
AGD
【考點】二次函數綜合題．
【答案】（1）y=-x2-x+4；
（2）最大值為，此時，點P（-3，3.5）；
（3）存在，點N的坐標為：（，-）或（，-）或（-，2）．
1
6
1
3
（2）
S
△
APD
S
△
AGD
3
8
（3）存在，點N的坐標為：（
4
286
+
24
13
13
10
13
13
-
4
286
+
24
13
13
10
13
13
5
13
12
13
【解答】
【點評】
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發布：2024/9/7 3:0:8組卷：284引用：1難度：0.3
相似題
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1．已知拋物線y=ax2+bx-3經過點A（1，0），B（-2，-3），頂點為點P，與y軸交于點C．
（1）求該拋物線的表達式以及頂點P的坐標；
（2）將拋物線向上平移m（m＞0）個單位后，點A的對應點為點M，若此時MB∥AC，求m的值；
（3）設點D在拋物線y=ax2+bx-3上，且點D在直線BC上方，當∠DBC=∠BAC時，求點D的坐標．發布：2025/5/24 11:30:1組卷：471引用：1難度：0.3 -
2．如圖，在直角坐標系中有Rt△AOB，O為坐標原點，A（0，3），B（-1，0），將此三角形繞原點O順時針旋轉90°，得到Rt△COD，二次函數y=ax2+bx+c的圖象剛好經過A，B，C三點．
（1）求二次函數的解析式及頂點P的坐標；
（2）過定點Q的直線l：y=kx-k+3與二次函數圖象相交于M，N兩點．
①若S△PMN=2，求k的值；
②證明：無論k為何值，△PMN恒為直角三角形；
③當直線l繞著定點Q旋轉時，△PMN外接圓圓心在一條拋物線上運動，直接寫出該拋物線的表達式．發布：2025/5/24 12:0:1組卷：727引用：7難度：0.2 -
3．如圖，二次函數y=ax2+bx+5的圖象經過點（1，8），且與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點A（-1，0），M為拋物線的頂點．
（1）求二次函數的解析式；
（2）求△MCB的面積；
（3）在坐標軸上是否存在點N，使得△BCN為直角三角形？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．發布：2025/5/24 12:0:1組卷：1427引用：7難度：0.5