【學習與思考】類比圓的切線，拋物線的切線是指過拋物線上一點的直線，這條直線不與x軸垂直并且與拋物線只有一個公共點．比如在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x2上的點P（1，1），過點P的切線可寫作：y=kx+b,代入x=1，y=1，得到b=-k+1，所以y=kx-k+1，與y=x2聯(lián)立，得到x2-kx+k-1=0，因為只有一個公共點，所以Δ=k2-4k+4=0，得到k=2，所以經(jīng)過點P的切線為y=2x-1．
【理解與應用】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=14x2．
（1）點A（m,n）（m≠0）在拋物線上，設過點A的切線為l.
①若m=2，求l的表達式；
②設l與y軸交于點B，過點A作AC⊥x軸于點C，求證：四邊形OACB為平行四邊形；
（2）動點D，E在該拋物線上，分別過點D，E作拋物線切線l1，l2，設l1，l2交于點F．若點F始終在直線y=2x-1上，試說明直線DE經(jīng)過定點，并求出該定點坐標．
y
=
1
4
x
2
【考點】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）①直線l的表達式為：y=x-1；②見解答；（2）直線DE過定點，定點坐標為：（4，1）．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：971引用：1難度：0.3
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1．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，連接BC．P是直線BC上方拋物線上一動點，連接PA，交BC于點D．其中BC=AB，tan∠ABC=．34
（1）求拋物線的解析式；
（2）求的最大值；PDDA
（3）若函數(shù)y=ax2+bx+3在（其中m-12≤x≤m+12）范圍內(nèi)的最大值為s,最小值為t,且m≤56≤s-t＜12，求m的取值范圍．32發(fā)布：2025/5/24 6:0:2組卷：213引用：1難度：0.1 -
2．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A（-1，0），B（
，0），直線y=x+52與拋物線交于C，D兩點，點P是拋物線在第四象限內(nèi)圖象上的一個動點．過點P作PG⊥CD，垂足為G，PQ∥y軸，交x軸于點Q．12
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）當PG+PQ取得最大值時，求點P的坐標和2PG+PQ的最大值；2
（3）將拋物線向右平移個單位得到新拋物線，M為新拋物線對稱軸上的一點，點N是平面內(nèi)一點．當（2）中134PG+PQ最大時，直接寫出所有使得以點A，P，M，N為頂點的四邊形是菱形的點N的坐標，并把求其中一個點N的坐標的過程寫出來．2
發(fā)布：2025/5/24 5:0:1組卷：1766引用：4難度：0.3 -
3．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于C點，P為y軸上的一個動點，已知A（-2，0）、C（0，-2），且拋物線的對稱軸是直線x=1．3
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）連接PB，則PC+PB的最小值是；12
（3）連接PA、PB，P點運動到何處時，使得∠APB=60°，請求出P點坐標．發(fā)布：2025/5/24 5:0:1組卷：1948引用：7難度：0.2
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