已知函數f（x）=lnx,g（x）=

a

x

（a＞0），設F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）求F（x）的單調區間；
（Ⅱ）若以y=F（x）（x∈（0，3]）圖象上任意一點P（x₀，y₀）為切點的切線的斜率k

≤

1

2

恒成立，求實數a的最小值．
（Ⅲ）是否存在實數m,使得函數y=g（

2

a

x

2

+

1

）+m-1的圖象與y=f（1+x²）的圖象恰好有四個不同的交點？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，說明理由．