曉芳利用兩張正三角形紙片，進行了如下探究：
初步發現
如圖1，△ABC和△DCE均為等邊三角形，連接AE交BD延長線于點F，求證：∠AFB=60°；
深入探究
如圖2，在正三角形紙片△ABC的BC邊上取一點D，作∠ADE=60°交∠ACB外角平分線于點E，探究CE，DC和AC的數量關系，并證明；
拓展創新
如圖3，△ABC和△DCE均為正三角形，當B，C，E三點共線時，連接PC，若BC=3CE，直接寫出下列兩式分別是否為定值，并任選其中一個進行證明：
①AP-3PDPC；
②AP+PC+2PDBD-PC+PE．
AP
-
3
PD
PC
AP
+
PC
+
2
PD
BD
-
PC
+
PE
【考點】三角形綜合題．
【答案】（1）證明過程見解答；
（2）AC=CE+CD，理由見解答；
（3）①=2，②=1都是定值，證明見解答．
（2）AC=CE+CD，理由見解答；
（3）①
AP
-
3
PD
PC
AP
+
PC
+
2
PD
BD
-
PC
+
PE
【解答】
【點評】
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發布：2024/7/27 8:0:9組卷：58難度：0.1
相似題
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1．下面是某數學興趣小組探究用不同方法作一條線段的垂直平分線的討論片段，請仔細閱讀，并完成相應任務．
小晃：如圖1，（1）分別以A，B為圓心，大于 AB為半徑作弧，兩弧交于點P；（2）分別作∠PAB，∠PBA的平分線AD，BC，交點為E；（3）作直線PE．直線PE即為線段AB的垂直平分線．12
簡述作圖理由：
由作圖可知，PA=PB，所以點P在線段AB的垂直平分線上，∠PAB=∠PBA，因為AD，BC分別是∠PAB，∠PBA的平分線，所以∠DAB=∠CBA，所以AE=BE，所以點E在線段AB的垂直平分線上，所以PE是線段AB的垂直平分線．
小航：我認為小晃的作圖方法很有創意，但是可以改進如下，如圖2，（1）分別以A，B為圓心，大于AB為半徑作弧，兩弧交于點P；（2）分別在線段PA，PB上截取PC=PD；（3）連接AD，BC，交點為E；（4）作直線PE．直線PE即為線段AB的垂直平分線．12
…
任務：
（1）小晃得出點P在線段AB的垂直平分線上的依據是 ；
（2）小航作圖得到的直線PE是線段AB的垂直平分線嗎？請判斷并說明理由；
（3）如圖3，已知∠P=30°，PA=PB，AB=，點C，D分別為射線PA，PB上的動點，且PC=PD，連接AD，BC，交點為E，當AD⊥BC時，請直接寫出線段AC的長．6發布：2025/6/9 17:0:1組卷：489引用：6難度：0.3 -
2．在平面直角坐標系中，已知點A（a,0），B（b,3），C（4，0），且滿足
+（a-b+6）2=0，線段AB交y軸于點F，點D是y軸正半軸上的一點．a+b
（1）求出點A，B的坐標；
（2）如圖2，若DB∥AC，∠BAC=a,且AM，DM分別平分∠CAB，∠ODB，求∠AMD的度數；（用含a的代數式表示）．
（3）如圖3，坐標軸上是否存在一點P，使得△ABP的面積和△ABC的面積相等？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．
發布：2025/6/9 17:30:1組卷：1942引用：7難度：0.3 -
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，動點P從點A出發，以每秒4個單位長度的速度向終點B運動．過點P作PQ⊥AB交折線AC-CB于點Q，作點C關于直線PQ的對稱點C'．設點P的運動時間為t（t＞0）．
（1）用含t的代數式表示線段PQ的長；
（2）當點Q在線段AC上時，設直線PQ與直線BC交于點M，當△APQ和△QCM全等時，求t的值；
（3）當△PCC'為等邊三角形時，直接寫出滿足條件的t值；
（4）當點C'和△ABC的某兩個頂點距離相等時，直接寫出滿足條件的t值．發布：2025/6/9 16:0:2組卷：111引用：1難度：0.2