綜合與探究
如圖，直線y=-x+4與x軸交于點B，與y軸交于點C，經過B，C兩點的拋物線y=-12x2+bx+c與x軸的另一個交點為點A，連接AC．
（1）求拋物線的解析式以及點A的坐標；
（2）若點P是直線BC上方拋物線上的一個動點，過點P作PQ∥AC交直線y=-x+4于點Q，求線段PQ的最大值；
（3）若點M在直線BC上運動，在坐標平面內是否存在另一個點N，使得以A，C，M，N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．
y
=
-
1
2
x
2
+
bx
+
c
【考點】二次函數綜合題．
【答案】（1）拋物線的解析式為，A（-2，0）；
（2）PQ的最大值為；
（3）N或N或N（4，6）或N（-7，5）．
y
=
-
1
2
x
2
+
x
+
4
（2）PQ的最大值為
2
5
3
（3）N
（
-
2
-
10
，
10
）
（
-
2
+
10
，-
10
）
【解答】
【點評】
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發布：2025/5/22 0:30:1組卷：243引用：1難度：0.3
相似題
-
1．如圖1，直線y=-x+5與x軸、y軸分別交于B、C兩點，經過B、C兩點的拋物線與x軸的另一交點坐標為A（-1，0）．
（1）求B、C兩點的坐標及該拋物線所對應的函數關系式；
（2）P在線段BC上的一個動點（與B、C不重合），過點P作直線a∥y軸，交拋物線于點E，交x軸于點F，設點P的橫坐標為m.
①若點P的橫坐標為m,請用m表示線段PE的長度并寫出m的取值范圍；
②有人認為：當直線a與拋物線的對稱軸重合時，線段PE的值最大，你同意他的觀點嗎？請說明理由；
③過點P作直線b∥x軸（圖2），交AC于點Q，那么在x軸上是否存在點R，使得△PQR與△BOC相似？若存在，請求出點R的坐標；若不存在，請說明理由．發布：2025/5/24 9:0:1組卷：155引用：3難度：0.3 -
2．拋物線y=ax2+bx+3經過A（-1，0），B（3，0）兩點，與y軸正半軸交于點C．
（1）求此拋物線解析式；
（2）如圖①，連接BC，點P為拋物線第一象限上一點，設點P的橫坐標為m,△PBC的面積為S，求S與m的函數關系式，并求S最大時P點坐標；
（3）如圖②，連接AC，在拋物線的對稱軸上是否存在點M，使△MAC為等腰三角形？若存在，請直接寫出符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．發布：2025/5/24 8:0:1組卷：301引用：3難度：0.1 -
3．在平面直角坐標系xOy中，已知二次函數y=a（x-1）2+k的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），AB=4，與y軸交于點C，E為拋物線的頂點，且tan∠ABE=2．
（1）求此二次函數的表達式；
（2）已知P在第四象限的拋物線上，連接AE交y軸于點M，連接PE交x軸于點N，連接MN，若S△EAP=3S△EMN，求點P的坐標；
（3）如圖2，將原拋物線沿y軸翻折得到一個新拋物線，A點的對應點為點F，過點C作直線l與新拋物線交于另一點M，與原拋物線交于另一點N，是否存在這樣一條直線，使得△FMN的內心在直線EF上？若存在，求出直線l的解析式；若不存在，請說明理由．
發布：2025/5/24 9:0:1組卷：767引用：5難度：0.3