已知向量

m

=（e^x，lnx+k），

n

=（1，f（x）），

m

∥

n

（k為常數(shù)，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與y軸垂直，F(xiàn)（x）=xe^xf′（x）．
（1）求k的值及F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知函數(shù)g（x）=-x²+2ax（a為正實(shí)數(shù)），若對(duì)任意x₂∈[0，1]，總存在x₁∈（0，+∞），使得g（x₂）＜F（x₁），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．