如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=23x2+43x-2與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．
（1）求線段AC的長度；
（2）點P為直線AC下方拋物線上的一動點，且點P在拋物線對稱軸左側，過點P作PD∥y軸，交AC于點D，作PE∥x軸，交拋物線于點E．求3PD+PE的最大值及此時點P的坐標；
（3）在（2）中3PD+PE取得最大值的條件下，將該拋物線沿著射線CA方向平移13個單位長度，得到一條新拋物線y′，M為射線CA上的動點，過點M作MF∥x軸交新拋物線y′的對稱軸于點F，點N為直角坐標系內一點，請直接寫出所有使得以點P，F，M，N為頂點的四邊形是菱形的點N的坐標，并寫出求解點N的坐標的其中一種情況的過程．
?
y
=
2
3
x
2
+
4
3
x
-
2
13
【考點】二次函數綜合題．
【答案】（1）線段AC的長度為；
（2）3PD+PE取最大值6，P的坐標為（-2，-2）；
（3）N的坐標為（，-2）或（-6，）或（，-2）或（，-2）．
13
（2）3PD+PE取最大值6，P的坐標為（-2，-2）；
（3）N的坐標為（
-
21
+
3
21
2
10
3
-
26
+
6
21
5
-
26
-
6
21
5
【解答】
【點評】
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發布：2024/7/28 8:0:9組卷：810引用：5難度：0.1
相似題
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1．在平面直角坐標系xOy中，二次函數y=ax2+bx+4（a＜0）的圖象與x軸交于點A（-2，0）和點B（4，0），與y軸交于點C，直線BC與對稱軸于點D．
（1）求二次函數的解析式．
（2）若拋物線y=ax2+bx+4（a＜0）的對稱軸上有一點M，以O、C、D、M四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點M的坐標．
（3）將拋物線y=ax2+bx+4（a＜0）向右平移2個單位得到新拋物線，新拋物線與原拋物線交于點E，點F是新拋物線的對稱軸上的一點，點G是坐標平面內一點，當以D、E、F、G四點為頂點的四邊形是菱形時，求點F的坐標．發布：2025/5/23 23:30:1組卷：634引用：3難度：0.3 -
2．如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A（，0），B兩點（點B在點A的左側），與y軸交于點C，且OB=3OA=3OC，∠OAC的平分線AD交y軸于點D，過點A且垂直于AD的直線l交y軸于點E，點P是x軸下方拋物線上的一個動點，過點P作PF⊥x軸，垂足為F，交直線AD于點H．3
（1）求拋物線的解析式；
（2）設點P的橫坐標為m,當FH=HP時，求m的值；
（3）當直線PF為拋物線的對稱軸時，以點H為圓心，HC為半徑作⊙H，點Q為⊙H上的一個動點，求12AQ+EQ的最小值．14發布：2025/5/24 0:0:1組卷：3204引用：2難度：0.3 -
3．如圖，是某水上樂園為親子游樂區新設滑梯的示意圖，其中線段PA是豎直高度為6米的平臺，PO垂直于水平面，滑道分為兩部分，其中AB段是雙曲線y=的一部分，BCD段是拋物線的一部分，兩滑道的連接點B為拋物線的頂點，且B點的豎直高度為2米，滑道與水平面的交點D距PO的水平距離為7米，以點O為坐標原點建立平面直角坐標系，滑道上點的豎直高度為y,距直線PO的水平距離為x.10x
（1）請求出滑道BCD段y與x之間的函數關系式；
（2）當滑行者滑到C點時，距地面的距離為1米，求滑行者此時距滑道起點A的水平距離；
（3）在建模實驗中發現，為保證滑行者的安全，滑道BCD落地點D與最高點B連線與水平面夾角應不大于45°，且由于實際場地限制，≥OPOD，求OD長度的取值范圍．12發布：2025/5/23 23:0:1組卷：271引用：2難度：0.2