已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F2，點P（3，1）在C上，且|PF1|?|PF2|=10．
（1）求C的方程；
（2）斜率為-3的直線l與C交于A，B兩點，點B關于原點的對稱點為D．若直線PA，PD的斜率存在且分別為k1，k2，證明：k1?k2為定值．
x
2
a
2
-
y
2
b
2
【答案】（1）-=1；
（2）證明：設A（x1，y1），B（x2，y2），則D（-x2，-y2），
設直線l的方程為y=-3x+m，與雙曲線的方程聯立，消去y，可得，8x2-6mx+m2+8=0，
由Δ=（-6m）2-32（m2+8）＞0，可得|m|＞8，x1+x2=，x1x2=，
所以y1y2=（-3x1+m）（-3x2+m）
=9x1x2-3m（x1+x2）+m2=9?-3m?+m2=9-，
所以k1k2=?===-1，
所以k1?k2為定值-1．
x
2
8
y
2
8
（2）證明：設A（x1，y1），B（x2，y2），則D（-x2，-y2），
設直線l的方程為y=-3x+m，與雙曲線的方程聯立，消去y，可得，8x2-6mx+m2+8=0，
由Δ=（-6m）2-32（m2+8）＞0，可得|m|＞8，x1+x2=
3
m
4
m
2
+
8
8
所以y1y2=（-3x1+m）（-3x2+m）
=9x1x2-3m（x1+x2）+m2=9?
m
2
+
8
8
3
m
4
m
2
8
所以k1k2=
y
1
-
1
x
1
-
3
-
y
2
-
1
-
x
2
-
3
y
1
y
2
+
y
1
-
y
2
-
1
x
1
x
2
+
3
x
1
-
3
x
2
-
9
8
-
m
2
8
-
3
（
x
1
-
x
2
）
m
2
8
-
8
+
3
（
x
1
-
x
2
）
所以k1?k2為定值-1．
【解答】
【點評】
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發布：2024/4/20 14:35:0組卷：572引用：5難度：0.5
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