如圖，拋物線y=ax2+bx過A（4，0），B（1，3）兩點，點C、B關于拋物線的對稱軸對稱，過點B作直線BH⊥x軸，交x軸于點H．
（1）求拋物線的表達式；
（2）直接寫出點C的坐標和△ABC的面積．
（3）點P是拋物線對稱軸上一點，且使得PA-PC最大，求點P的坐標．
（4）若點M在直線BH上運動，點N在x軸上運動，當以點C、M、N為頂點的三角形為等腰直角三角形時，請直接寫出此時△CMN的面積．
【考點】二次函數綜合題．
【答案】（1）y=-x2+4x．
（2）C（3，3），3．
（3）P（2，6）．
（4）△MNC的面積為5或或或17．
（2）C（3，3），3．
（3）P（2，6）．
（4）△MNC的面積為5或
29
2
5
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【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：228引用：1難度：0.1
相似題
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1．如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=-
x2+13x+3與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C，拋物線的頂點為點E．233
（1）判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）經過B，C兩點的直線交拋物線的對稱軸于點D，點P為直線BC上方拋物線上的一動點，當△PCD的面積最大時，Q從點P出發，先沿適當的路徑運動到拋物線的對稱軸上點M處，再沿垂直于拋物線對稱軸的方向運動到y軸上的點N處，最后沿適當的路徑運動到點A處停止．當點Q的運動路徑最短時，求點N的坐標及點Q經過的最短路徑的長；
（3）如圖2，平移拋物線，使拋物線的頂點E在射線AE上移動，點E平移后的對應點為點E′，點A的對應點為點A′，將△AOC繞點O順時針旋轉至△A1OC1的位置，點A，C的對應點分別為點A1，C1，且點A1恰好落在AC上，連接C1A′，C1E′，△A′C1E′是否能為等腰三角形？若能，請求出所有符合條件的點E′的坐標；若不能，請說明理由．
發布：2025/6/22 21:30:2組卷：2855引用：2難度：0.1 -
2．如圖，拋物線y=-x2+bx+c的頂點為C，對稱軸為直線x=1，且經過點A（3，-1），與y軸交于點B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接OC、BC，求△OBC的面積；
（3）點P是拋物線對稱軸上一點，若△ACP為等腰三角形，請直接寫出所有點P的坐標．發布：2025/6/22 23:30:1組卷：215引用：2難度：0.5 -
3．如圖，一次函數y=-
x+2的圖象與坐標軸交于A、B兩點，點C的坐標為（-1，0），二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過A、B、C三點．12
（1）求二次函數的解析式；
（2）如圖1，已知點D（1，n）在拋物線上，作射線BD，點Q為線段AB上一點，過點Q作QM⊥y軸于點M，作QN⊥BD于點M，過Q作QP∥y軸交拋物線于點P，當QM與QN的積最大時，求線段PG的長；
（3）在（2）的條件下，連接AP，若點E為拋物線上一點，且滿足∠APE=∠ABO，求S△OBE．
發布：2025/6/22 21:0:10組卷：225引用：1難度：0.3