問題提出：將正m邊形（m≥3）不斷向外擴展，每擴展一個正m邊形每條邊上的點的個數(shù)（以下簡稱“點數(shù)”）就增加一個，則n個正m邊形的點數(shù)總共有多少個？
問題探究：為了解決上面的問題，我們將采取將一般問題特殊化的策略，先從簡單和具體的情形入手：

探究一：n個正三角形的點數(shù)總共有多少個？
如圖1-1，1個正三角形的點數(shù)總共有3個；如圖1-2，2個正三角形的點數(shù)總共有6個；如圖1-3，3個正三角形的點數(shù)總共有10個；…；n個正三角形的點數(shù)總共有

（

n

+

1

）

（

n

+

2

）

2

（

n

+

1

）

（

n

+

2

）

2

個．

探究二：n個正四邊形的點數(shù)總共有多少個？
如圖2-1，1個正四邊形的點數(shù)總共有4個；如圖2-2，2個正四邊形的點數(shù)總共有9個；
如圖2-3，連接AC，得到兩個三角形△ABC和△ADC，這兩個三角形相同之處在于，BC邊與CD邊都有相同個數(shù)的點，即4個點，并且與BC、CD平行的邊上依次減少一個點直至頂點A，每個三角形都有10個點，兩個三角形就是2×10個點．因為這兩個三角形在AC上有4個點重合，所以3個正四邊形的點數(shù)總共有2×10-4=16（個）．
如圖2-4，4個正四邊形的點數(shù)總共有

25

25

個；……n個正四邊形的點數(shù)總共有

（n+1）²

（n+1）²

個．

探究三：n個正五邊形的點數(shù)總共有多少個？
類比探究二的方法，求4個正五邊形的點數(shù)總共有多少個？并敘述你的探究過程．
n個正五邊形的點數(shù)總共有

1

2

（n+1）（3n+2）

1

2

（n+1）（3n+2）

個．
探究四：n個正六邊形的點數(shù)總共有

（n+1）（2n+1）

（n+1）（2n+1）

個．

問題解決：n個正m邊形的點數(shù)總共有

（n+1）[

n

（

m

-

2

）

2

+1]

（n+1）[

n

（

m

-

2

）

2

+1]

個．
實際應(yīng)用：若99個正m邊形的點數(shù)總共有39700個，求m的值．