九年級的小明，小亮與其他數學愛好者在網課學習期間交流了如下問題：
（1）如圖①，在△ABC中，D，E分別為AB，AC上兩點，DE∥AC，BD=2，AD=3，AC=10，則DE=44．
（2）在學習了北師大版數學九下46頁關于直角三角形內接矩形問題后，小明提出了一般三角形的內接矩形問題．如圖②，四邊形DEFG是△ABC的一個內接矩形（矩形四個頂點在三角形三邊上），如果AC=10，S△ABC=30，請計算當DE為多長時，矩形DEFG面積最大？
（3）研究完問題（2）后，小亮又想知道如何去畫△ABC的一個內接正方形，他又請教了數學張老師，知道了用位似的方法可以解決并證明．如圖③，在AB邊上任取一點D'，作正方形D′E′F′G′，使G′，F′落在AC邊上，連接AE′并延長交BC于點E，作EF⊥AC，DE⊥EF，DG⊥AC，即可得到正方形DEFG，大家稱線段AE為“縮放線”．張老師又啟發同學們一起解決下列問題，如圖④，在△ABC中，若AC=12，AC邊上的高記為x,在“縮放線”AE上取EK=EF，連接KG，KF，當∠GKF=90°時，設三角形AEF的面積為y,請探究y與x的函數關系式．
【考點】相似形綜合題．
【答案】4
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：261引用：1難度：0.1
相似題
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1．如圖，OF是∠MON的平分線，點A在射線OM上，P，Q是直線ON上的兩動點，點Q在點P的右側，且PQ=OA，作線段OQ的垂直平分線，分別交直線OF、ON于點B、點C，連接AB、PB．
（1）如圖1，當P、Q兩點都在射線ON上時，請直接寫出線段AB與PB的數量關系；
（2）如圖2，當P、Q兩點都在射線ON的反向延長線上時，線段AB，PB是否還存在（1）中的數量關系？若存在，請寫出證明過程；若不存在，請說明理由；
（3）如圖3，∠MON=60°，連接AP，設=k,當P和Q兩點都在射線ON上移動時，k是否存在最小值？若存在，請直接寫出k的最小值；若不存在，請說明理由．APOQ
發布：2025/5/24 23:30:2組卷：2276引用：6難度：0.3 -
2．如圖1，Rt△ABC中，∠A=90°，D為AB上一點，∠ACD=∠B．
（1）求證：AC2=AD?AB；
（2）如圖2，過點A作AM⊥CD于M，交BC于點E，若，求CDBC=12的值；AMME
（3）如圖3，N為CD延長線上一點，連接AN、BN，若，∠NBD=2∠ACD，則tan∠ANC的值為 ．CDBN=53
發布：2025/5/24 23:30:2組卷：239引用：1難度：0.3 -
3．【操作發現】
（1）如圖1，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，△ABC的三個頂點均在格點上．請按要求畫圖：將ABC繞點A順時針方向旋轉90°，點B的對應點為B′，點C的對應點為C′，連接BB′，此時∠ABB′=；
【問題解決】
在某次數學興趣小組活動中，小明同學遇到了如下問題：
（2）如圖2，在等邊△ABC中，點P在內部，且PA=3，PC=4，∠APC=150°，求PB的長．
經過同學們的觀察、分析、思考、交流、對上述問題形成了如下想法：將△APC繞點A按順時針方向旋轉60°，得到△ABP′，連接PP′，尋找PA、PB、PC三邊之間的數量關系……請參考他們的想法，完成該問題的解答過程；
【學以致用】
（3）如圖3，在等邊△ABC中，AC=7，點P在△ABC內，且∠APC=90°，∠BPC=120°．求△APC的面積；
【思維拓展】
如圖4，在四邊形ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，∠BAE=∠ADC，BE=CE=1，CD=3，AD=kAB（k為常數），請直接寫出BD的長（用含k的式子表示）．
發布：2025/5/24 23:0:1組卷：789引用：2難度：0.2