橢圓C的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，過C的長軸，短軸端點的一條直線方程是x+2y-2=0．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點P（0，2）作直線交橢圓C于A，B兩點，若點B關于y軸的對稱點為B′，證明直線AB′過定點．
2
【考點】直線與圓錐曲線的綜合．
【答案】（Ⅰ）+=1；
（Ⅱ）證明：設直線AB：y=kx+2，（k≠0），
設A，B兩點的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），則B′（-x2，y2），
聯立直線AB與橢圓得
，
得（1+2k2）x2+8kx+4=0，
∴Δ=64k2-16（1+2k2）＞0，解得k2＞，
∴x1+x2=-，x1x2=，
∴kAB′=，
∴直線AB′：y-y1=（x-x1），
∴令x=0，得y===+2=2k?+2=-1+2=1，
∴直線AB′過定點Q（0，1），
x
2
4
y
2
2
（Ⅱ）證明：設直線AB：y=kx+2，（k≠0），
設A，B兩點的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），則B′（-x2，y2），
聯立直線AB與橢圓得
y = kx + 2 |
x 2 + 2 y 2 = 4 |
得（1+2k2）x2+8kx+4=0，
∴Δ=64k2-16（1+2k2）＞0，解得k2＞
1
2
∴x1+x2=-
8
k
1
+
2
k
2
4
1
+
2
k
2
∴kAB′=
y
1
-
y
2
x
1
+
x
2
∴直線AB′：y-y1=
y
1
-
y
2
x
1
+
x
2
∴令x=0，得y=
x
1
y
2
+
x
2
y
2
x
1
+
x
2
x
1
（
k
x
2
+
2
）
+
x
2
（
k
x
1
+
2
）
x
1
+
x
2
2
k
x
1
x
2
x
1
+
x
2
4
1
+
2
k
2
-
8
k
1
+
2
k
2
∴直線AB′過定點Q（0，1），
【解答】
【點評】
聲明：本試題解析著作權屬菁優網所有，未經書面同意，不得復制發布。
發布：2024/7/21 8:0:9組卷：321引用：3難度：0.5
相似題
-
1．點P在以F1，F2為焦點的雙曲線
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O為坐標原點．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求雙曲線的離心率e；
（Ⅱ）過點P作直線分別與雙曲線漸近線相交于P1，P2兩點，且，OP1?OP2=-274，求雙曲線E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若過點Q（m,0）（m為非零常數）的直線l與（2）中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點的兩點M、N，且（λ為非零常數），問在x軸上是否存在定點G，使MQ=λQN？若存在，求出所有這種定點G的坐標；若不存在，請說明理由．F1F2⊥（GM-λGN）發布：2024/12/29 10:0:1組卷：72引用：5難度：0.7 -
2．已知兩個定點坐標分別是F1（-3，0），F2（3，0），曲線C上一點任意一點到兩定點的距離之差的絕對值等于2
．5
（1）求曲線C的方程；
（2）過F1（-3，0）引一條傾斜角為45°的直線與曲線C相交于A、B兩點，求△ABF2的面積．發布：2024/12/29 10:30:1組卷：102引用：1難度：0.9 -
3．若過點（0，-1）的直線l與拋物線y2=2x有且只有一個交點，則這樣的直線有（ ）條．
發布：2024/12/29 10:30:1組卷：26引用：5難度：0.7