【問題提出】n個m邊形最多可以把平面分成幾部分？
【問題探究】為了探究規(guī)律，我們先從最簡單的情形入手，從中找到解決問題的方法，最后得出一般性的結論．
探究一：n條直線最多可以把平面分成幾部分？

n的數(shù)量	思考方式	結果與算式
1條直線		2個區(qū)域
2條直線	要使分成的區(qū)域盡最多，則第2條直線要與第1條直線相交可以將平面分成4個區(qū)域；	1+1+2=4個區(qū)域；
3條直線	如圖1，將第3條直線與前面2條直線盡可能兩兩相交，這樣就會得到2個交點，這2個交點將第3條直線分為了2條射線和1條線段，這樣就多了2+1=3個區(qū)域，所以3條直線至多將平面分成7個區(qū)域；	1+1+2+3=7個區(qū)域；
4條直線	如圖2，4條直線時，如圖2，將第4條直線與前面3條相交直線盡可能兩兩相交，這樣就會得到3個交點，這3個交點將第4條直線分為了2條射線和4-2=2條線段，這樣就多了2+2=4個區(qū)域，所以三條直線至多將平面分成11個區(qū)域；	1+1+2+3+4=11個區(qū)域；

結論：n條直線最多可以把平面分成

（

1

2

n²+

1

2

n+1）

（

1

2

n²+

1

2

n+1）

部分．
探究二：n個圓最多可以把平面分成幾部分？

n的數(shù)量	思考方式	結果與算式
1個圓		2
2個圓	為了使分成的區(qū)域最多，應使新增加的圓與前1個圓有2個交點，將新增加的圓分成2部分，從而增加2個區(qū)域，所以，用2個圓最多能把平面分成4個區(qū)域．	2+2×1=4個區(qū)域
3個圓	為了使分成的區(qū)域最多，應使新增加的圓與前2個圓分別有2個交點，將新增加的圓分成2×2=4部分，從而增加4個區(qū)域，所以，用3個圓最多能把平面分成8個區(qū)域．	2+2×1+2×2=8個區(qū)域

用4個圓最多能把平面分成幾個區(qū)域？
仿照前面的探究方法，寫出解答過程并且畫出相應的圖．

結論：n個圓最多可以把平面分成

（n²-n+2）

（n²-n+2）

部分．
探究三：n個三角形最多可以把平面分成幾部分？

由上面的分析，當畫第n（n≥2）個三角形時，每條邊最多與前面已畫的（n-1）個三角形的各兩條邊相交，對于每個三角形，因為1條直線最多與三角形的2條邊相交，所以第n個三角形的每條邊最多與前面（n-1）個三角形的各

2

2

條邊相交，共可產生

（n²-n）

（n²-n）

（個）交點，即增加

（n²-n）

（n²-n）

部分．
【一般規(guī)律】
n個四邊形最多可以把平面分成

（4n²-4n+2）

（4n²-4n+2）

部分；
n個m邊形最多可以把平面分成

（4n²-4n+m-2）

（4n²-4n+m-2）

部分．