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材料：對一個圖形通過兩種不同的方法計算它的面積或體積，可以得到一個數學等式．
（1）如圖1，將一個邊長為a的正方形紙片剪去一個邊長為b的小正方形，根據剩下部分的面積，可得一個關于a,b的等式：
（a+b）（a-b）
（a+b）（a-b）
．
請類比上述探究過程，解答下列問題：
（2）如圖2，將一個棱長為a的正方體木塊挖去一個棱長為b的小正方體，根據剩下部分的體積，可以得到等式：a³-b³=
a²（a-b）+ab（a-b）+b²（a-b）
a²（a-b）+ab（a-b）+b²（a-b）
，將等式右邊因式分解，即a³-b³=
（a-b）（a²+ab+b²）
（a-b）（a²+ab+b²）
；
（3）根據以上探究的結果，①如圖3所示，拼疊的正方形邊長是從1開始的連續奇數…，按此規律拼疊到正方形ABCD，其邊長為19，求陰影部分的面積．
②計算：
（
21
+
1
）
3
-
（
21
-
1
）
3
．

【考點】因式分解的應用；二次根式的混合運算；平方差公式的幾何背景；認識立體圖形．

【答案】（a+b）（a-b）；a²（a-b）+ab（a-b）+b²（a-b）；（a-b）（a²+ab+b²）

【解答】

【點評】

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發布：2025/6/4 18:30:2組卷：126引用：1難度：0.5

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A．89 B．-89 C．67 D．-67
發布：2025/6/6 5:0:1組卷：30引用：1難度：0.7
解析
2．閱讀下列材料：
材料1：在處理分數和分式問題時，有時由于分子比分母大，或者分子的次數高于分母的次數，在實際運算時往往難度比較大，這時我們可以將假分數（分式）拆分成一個整數（整式）與一個真分數（式）的和（差）的形式，通過對簡單式的分析來解決問題，我們稱之為分離整數法．此法在處理分式或整除問題時頗為有效．如將分式
x
2
-
3
x
-
1
x
+
2
拆分成一個整式與一個分式（分子為整數）的和的形式．
解：設x+2=t,則x=t-2．∴原式
（
t
-
2
）
2
-
3
（
t
-
2
）
-
1
t
=
t
2
-
7
t
+
9
t
=t-7+
9
t

∴
x
2
-
3
x
-
1
x
+
2
=x-5+
9
x
+
2

材料2：配方法是初中數學思想方法中的一種重要的解題方法，配方法最終的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式來求解，它的應用非常廣泛，在解方程、求最值、證明等式、化簡根式、因式分解等方面都經常用到．如：當a＞0，b＞0時，∵
a
b
+
b
a
=（
a
b
）²+（
b
a
）²=（
a
b
-
b
a
）²+2
∴當
a
b
=
b
a
，即a=b時，
a
b
+
b
a
有最小值2．
根據以上閱讀材料回答下列問題：
（1）將分式
x
2
+
x
+
3
x
+
1
拆分成一個整式與一個分子為整數的分式的和的形式，則結果為
；
（2）已知分式
4
x
2
-
10
x
+
8
2
x
-
1
的值為整數，求整數x的值；
（3）當-1＜x＜1時，求代數式
-
12
x
4
+
14
x
2
-
5
-
2
x
2
+
2
的最大值及此時x的值．
發布：2025/6/6 4:30:1組卷：387引用：4難度：0.4
解析
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A．等邊三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．銳角三角形
發布：2025/6/6 10:0:1組卷：43引用：2難度：0.7
解析

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