已知函數f（x）=e^x-a，g（x）=lnx+a（a∈R）．
（1）若直線y=x是y=g（x）的切線，函數

F

（

x

）

=

f （ x ） ， x ≤ 1

g （ x ） ， x ＞ 1

總存在x₁＜x₂，使得F（x₁）+F（x₂）=2，求x₁+F（x₂）的取值范圍；
（2）設G（x）=f（x）-g（x），若|G（x）|=b恰有三個不等實根，證明：

a

-

1

a

＜

b

＜

2

a

-

2

．