綜合與實(shí)踐
問題情境：如圖（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)O是AC中點(diǎn)，將△ADC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到△CEA．
猜想證明：
（1）試判斷四邊形ADCE的形狀，并說明理由．
問題解決：
（2）將△AEC繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△A′E′C，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到如圖（2）位置時(shí)直線A′E′剛好經(jīng)過點(diǎn)A．求證：A′C∥AB，并求出此時(shí)△A′PC的面積．
（3）在△AEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)的過程中，直線A′E′交AB于點(diǎn)Q，交BC于點(diǎn)P，是否存在某一時(shí)刻，使△BPQ是直角三角形．若存在，直接寫出BP的長，若不存在請說明理由．
【考點(diǎn)】四邊形綜合題．
【答案】（1）四邊形ADCE的矩形，理由見解析過程；
（2）證明見解析過程，；
（3）或．
（2）證明見解析過程，
S
△
A
′
PC
=
3
3
（3）
2
3
-
1
4
3
3
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：263引用：3難度：0.1
相似題
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1．在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，同學(xué)們對菱形的折疊問題進(jìn)行了探究．如圖（1），在菱形ABCD中，∠B為銳角，E為BC中點(diǎn)，連接DE，將菱形ABCD沿DE折疊，得到四邊形A′B′ED，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A′，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B′．
（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】A′D與B′E是什么位置關(guān)系？
（2）【思考表達(dá)】連接B′C，判斷∠DEC與∠B′CE 是否相等，并說明理由；
（3）如圖（2），延長DC交A′B′于點(diǎn)G，連接EG，請?zhí)骄俊螪EG的度數(shù)，并說明理由；
（4）【綜合運(yùn)用】如圖（3），當(dāng)∠B=60° 時(shí)，連接B′C，延長DC交A′B′于點(diǎn)G，連接EG，請寫出B′C，EG，DG之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．發(fā)布：2025/5/23 14:30:1組卷：458引用：4難度：0.1 -
2．數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們根據(jù)下面情境提出問題并解答．問題情境：在?ABCD中，點(diǎn)P是邊AD上一點(diǎn)，將△PDC沿直線PC折疊，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為E．
數(shù)學(xué)思考：
（1）“興趣小組”提出的問題是：如圖1，若點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，過點(diǎn)E作EF∥AD，與PC 交于點(diǎn)F，連接DF，則四邊形AEFD是菱形．請你證明“興趣小組”提出的問題；
拓展探究：
（2）“智慧小組”提出的問題是：如圖2，當(dāng)點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)時(shí)，延長CE交AB于點(diǎn)F，連接PF．試判斷PF與PC的位置關(guān)系，并說明理由；
問題解決：
（3）“創(chuàng)新小組”在前兩個(gè)小組的啟發(fā)下，提出的問題是：如圖3，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在AB邊上時(shí)，AP=6，PD=8，DC=20，求AE的長．
?發(fā)布：2025/5/23 13:0:1組卷：604引用：5難度：0.4 -
3．如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)M為線段AD上一點(diǎn)（不與A，D重合），在線段BD上取點(diǎn)N，使DM=DN，連接AN，CM．
（1）觀察猜想：線段AN與CM的數(shù)量關(guān)系是 ，AN與CM的位置關(guān)系是 ；
（2）類比探究：將△DMN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，請寫出AN與CM的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，并就圖2的情形說明理由；
（3）問題解決：已知AD=3，DM=3，將△DMN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，當(dāng)以A、D、M、N四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，直接寫出BN的長．2發(fā)布：2025/5/23 12:0:2組卷：139引用：3難度：0.1
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