在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2-2ax-3a（a≠0）的頂點為P，且該拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側）．我們規定拋物線與x軸圍成的封閉區域稱為“區域G”（不包括邊界）；橫、縱坐標都是整數的點稱為整點．
（1）如果拋物線y=ax2-2ax-3a經過點（1，3）．
①求a的值；
②直接寫出“區域G”內整數點的個數；
（2）當a＜0時，如果拋物線y=ax2-2ax-3a在“區域G”內有4個整數點，求a的取值范圍；
（3）當a＞0時，拋物線與直線x=a交于點C，把點C向左平移5個單位長度得到點D，以CD為邊作等腰直角三角形CDE，使∠DCE=90°，點E與拋物線的頂點始終在CD的兩側，線段DE與拋物線交于點F，當tan∠ECF=23時，直接寫出a的值．
2
3
【考點】二次函數綜合題．
【答案】（1）①a=-；
②6個；
（2）-≤a＜-；
（3）或．
3
4
②6個；
（2）-
2
3
1
2
（3）
1
2
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2
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：185引用：1難度：0.3
相似題
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1．綜合與探究
如圖，拋物線y=-x2+29x+4與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C．點M是y軸右側拋物線上一動點，過點M作AC的平行線，交直線BC于點D，交x軸于點E．23
（1）請直接寫出點A，B，C的坐標及直線BC的解析式；
（2）當DE=OE時，求點D的坐標；
（3）試探究在點M運動的過程中，是否存在以點A，C，E，M，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出M的坐標，若不存在說明理由．
發布：2025/5/25 11:0:2組卷：142引用：1難度：0.1 -
2．在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=-x2+2mx-m2+m-2（m是常數）．
（1）求該拋物線的頂點坐標（用含m代數式表示）；
（2）如果該拋物線上有且只有兩個點到直線y=1的距離為1，直接寫出m的取值范圍；
（3）如果點A（a,y1），B（a+2，y2）都在該拋物線上，當它的頂點在第四象限運動時，總有y1＞y2，求a的取值范圍．發布：2025/5/25 11:0:2組卷：1486引用：7難度：0.4 -
3．如圖1，拋物線y=ax2+5ax+c經過A（3，0），C（0，-4），點B在x軸上，且AC=BC，過點B作BD⊥x軸交拋物線于點D，點E，F分別是線段CO，BC上的動點，且CE=BF，連接EF．
（1）求拋物線的表達式及點D的坐標；
（2）當△CEF是直角三角形時，求點F的坐標；
（3）如圖2，連接AE，AF，直接寫出AE+AF的最小值為：.
發布：2025/5/25 11:30:2組卷：215引用：1難度：0.3