【問題情境】
（1）王老師給愛好學習的小明和小穎提出這樣一個問題：一個問題：如圖①，在△ABC中，AB=AC，P為邊BC上的任一點，過點P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D，E，過點C作CF⊥AB，垂足為F．求證：PD+PE=CF．（不需要證明）
小明的證明思路是：
如圖②，連接AP，由△ABP與△ACP面積之和等于△ABC的面積可以證得：PD+PE=CF．
小穎的證明思路是：
如圖②，過點P作PG⊥CF，垂足為G，可以證得：PD=GF，PE=CG，則PD+PE=CF．
【變式探究】
（2）如圖③，當點P在BC延長線上時，問題情境中，其余條件不變，求證：PD-PE=CF．
【結論運用】
（3）如圖④，將矩形ABCD沿EF折疊，使點D落在點B上，點C落在點 C 處，點P為折痕EF上的任一點，過點P作PG⊥BE，PH⊥BG，垂足分別為G，H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值．
【遷移拓展】
（4）圖⑤是一個機器模型的截面示意圖，在四邊形ABCD中，E為AB邊上的一點，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分別為D，C，且AD?CE=DE?BC，AB=213cm，AD=3cm,BD=37cm，MN分別為AE，BE的中點，連接DM，CN，請直接寫出△DEM與△CEN的周長之和．
?
AB
=
2
13
cm
BD
=
37
cm
【考點】相似形綜合題．
【答案】（1）證明見解答過程；
（2）證明見解答過程；
（3）PG+PH的值為4；
（4）（6+2）dm．
（2）證明見解答過程；
（3）PG+PH的值為4；
（4）（6+2
13
【解答】
【點評】
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發布：2024/5/29 8:0:9組卷：229引用：1難度：0.5
相似題
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1．如圖，將正方形紙片ABCD沿PQ折疊，使點C的對稱點E落在邊AB上，點D的對稱點為點F，EF交AD于點G，連接CG交PQ于點H，連接CE，EH．
（1）求證：△PBE∽△QFG；
（2）求∠ECG的度數；
（3）求證：EG2-CH2=GQ?GD．發布：2025/5/25 21:0:1組卷：400引用：2難度：0.3 -
2．如圖1，在菱形ABCD中，∠ABC是銳角，P、Q分別是邊DC、BC延長線上的動點，連接AP、AQ分別交BC、DC于點M、N．
（1）當AP⊥BC且∠PAQ=∠D時，證明：△ABM≌△ADN；
（2）如圖2，當∠PAQ=∠BCD時，連接AC、PQ．12
①證明：AC2=CP?CQ；
②若AB=4，AC=2，則當CM為何值時，△APQ是以PQ為底邊的等腰三角形．發布：2025/5/25 21:30:1組卷：184引用：1難度：0.1 -
3．【證明體驗】（1）如圖1，△ABC中，D為BC邊上任意一點，作DE⊥AC于E，若∠CDE=
∠A，求證：△ABC為等腰三角形；12
【嘗試應用】
（2）如圖2，四邊形ABCD中，∠D=90°，AD=CD，AE平分∠BAD，∠BCD+∠EAD=180°，若DE=2，AB=6，求AE的長；
【拓展延伸】
（3）如圖3，△ABC中，點D在AB邊上滿足CD=BD，∠ACB=90°+∠B，若AC=1012，BC=20，求AD的長．3
發布：2025/5/25 20:0:1組卷：497引用：1難度：0.3