若函數y=F（x）的定義域為D，且對于任意的x1、x2∈D，“F（x1）=F（x2）”的充要條件是“x1=x2”，則稱函數y=F（x）為D上的“單值函數”．對于函數y=f（x），記
f（1）（x）=f（x），f（2）（x）=f（f（x）），f（3）（x）=f（f（f（x））），…，f（n+1）（x）=f（f（n）（x）），其中n=1，2，3，…，并對任意的A?D，記集合f（n）（A）={f（n）（x）|x∈A}，并規定f（n）（?）=?．
（1）若f（x）=2x+1，函數y=f（x）的定義域為R，求f（2）（[0，1]）和f（3）（[0，1]）；
（2）若函數y=f（x）的定義域為D，且存在正整數m,使得對任意的x∈D，x∈D，f（m）（x）=x,求證：函數y=f（x）為D上的“單值函數”；
（3）設a∈（0，1），若函數y=f（x）的定義域為（0，1]，且表達式為：f（x）=x+（1-a）， 0＜x≤a, x-a, a＜x≤1，
判斷y=f（x）是否為（0，1]上的“單值函數”，并證明對任意的區間I?（0，1]，存在正整數k,使得f（k）（I）∩I≠?．
f
（
x
）
=
x + （ 1 - a ） ， | 0 ＜ x ≤ a , |
x - a , | a ＜ x ≤ 1 ， |
【考點】函數與方程的綜合運用；充分條件與必要條件．
【答案】（1）f（2）（[0，1]）=[3，7]，f（3）（[0，1]）=[7，15]；
（2）證明見解析；
（3）y=f（x）是（0，1]上的“單值函數”，證明見解析．
（2）證明見解析；
（3）y=f（x）是（0，1]上的“單值函數”，證明見解析．
【解答】
【點評】
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發布：2024/10/21 21:0:4組卷：30引用：4難度：0.3