已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦點是（-3，0）、（3，0），且由橢圓上頂點、右焦點和原點組成的三角形面積為32．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P（0，4），M、N是橢圓C上關(guān)于y軸對稱的任意兩個不同的點，連接PN交橢圓C于另一點E，證明：直線ME與y軸相交于定點．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
3
3
3
2
【考點】直線和圓的方程的應(yīng)用．
【答案】（1）+y2=1；
（2）設(shè)N（x1，y1）、E（x2，y2）、M（-x1，y1），
直線PN的方程為y=kx+4，則
由
，消去y得：
（1+4k2）x2+32kx+60=0…
由根與系數(shù)的關(guān)系，得
x1+x2=，x1x2=…
∴直線lME的方程為y-y1=（x+x1）；…
∴當(dāng)x=0時，y=+y1
=
=
=
=+4
=；…
∴直線ME與y軸相交于定點．
x
2
4
（2）設(shè)N（x1，y1）、E（x2，y2）、M（-x1，y1），
直線PN的方程為y=kx+4，則
由
x 2 4 + y 2 = 1 |
y = kx + 4 |
（1+4k2）x2+32kx+60=0…
由根與系數(shù)的關(guān)系，得
x1+x2=
-
32
k
1
+
4
k
2
60
1
+
4
k
2
∴直線lME的方程為y-y1=
y
2
-
y
1
x
2
+
x
1
∴當(dāng)x=0時，y=
（
y
2
-
y
1
）
x
1
x
1
+
x
2
=
x
1
y
2
+
x
2
y
1
x
1
+
x
2
=
x
2
（
kx
1
+
4
）
+
x
1
（
kx
2
+
4
）
x
1
+
x
2
=
2
kx
1
x
2
+
4
（
x
1
+
x
2
）
x
1
+
x
2
=
120
-
32
=
1
4
∴直線ME與y軸相交于定點
（
0
，
1
4
）
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/8/5 8:0:8組卷：167引用：4難度：0.1
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