已知函數f（x）=ax+（a-1）lnx+1x，a∈R．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）若關于x的方程f（x）=xex-lnx+1x有兩個不相等的實數根x1，x2，
（ⅰ）求實數a的取值范圍；
（ⅱ）求證：ex1x2+ex2x1＞2ax1x2．
f
（
x
）
=
ax
+
（
a
-
1
）
lnx
+
1
x
f
（
x
）
=
x
e
x
-
lnx
+
1
x
e
x
1
x
2
+
e
x
2
x
1
＞
2
a
x
1
x
2
【考點】利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的最值．
【答案】（1）當a≤0時，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減；
當a＞0時，函數f（x）在上單調遞增，在上單調遞減；
（2）（ⅰ）（e，+∞）；
（ⅱ）證明見解答．
當a＞0時，函數f（x）在
（
1
a
，
+
∞
）
（
0
，
1
a
）
（2）（ⅰ）（e，+∞）；
（ⅱ）證明見解答．
【解答】
【點評】
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